Racine carrée

On sait calculer l’aire d’un carré de côté a : c’est a². La racine carrée permet, entre autres, de résoudre le problème inverse : étant donné un carré d’aire a, quel est son côté ? C’est $\sqrt{a}$.

I Définition et propriétés

Étant donné un nombre a positif, il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à a. Ce nombre est la racine carrée de a notée $\sqrt{a}$.

Exemples : pour les carrés parfaits, on a $\sqrt{0}=0$, $\sqrt{1}=1$, $\sqrt{4}=2$, $\sqrt{9}=3$, $\sqrt{16}=4$, etc.

Pour tout a⩾ 0, ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$ : c’est la définition, illustrée par la figure ci-dessous.

Si 0 < a< b alors $0<\sqrt{a}<\sqrt{b}$.

Pour tout réel x, $\sqrt{x^2}= \left|x\right|$.

En effet $\sqrt{x^2}=\sqrt{{\left(\text{–}x\right)}^2}$ donc $\sqrt{x^2}=x$ si x⩾ 0 et $\sqrt{x^2}=\sqrt{{(–x)}^2}=–x$ six⩽ 0.

La racine carrée d’un nombre négatif ­n’existe pas.

Repère
À noter

Le symbole $\sqrt{}$ s’appelle un radical.

II Opérations sur les racines carrées

Soit deux nombres positifs a et b.

La racine carrée d’un produit de deux nombres est égale au produit des racines carrées de ces deux nombres.

Repère
À noter

Si a et b sont strictement positifs alors $\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}$ : voir la méthode pour la démonstration.

$\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$

La racine carrée du quotient de deux nombres est égale au quotient des racines carrées de ces deux nombres.

Si b≠0, $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Remarques : • Si b> 0 alors $\sqrt{\frac{1}{b}}=\frac{1}{\sqrt{b}}$. En effet $\sqrt{\frac{1}{b}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{b}}=\frac{1}{\sqrt{b}}$.

• Pour tous réels a et b positifs : $\sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b}$ car $\sqrt{a^{2}b}=\sqrt{a^2}\sqrt{b}$.

1 Visualiser la formule $\sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b}$

a. Chaque petit carré a pour aire 7 cm². Quelle est l’aire du grand carré représenté ci-contre ?

b. Combien mesure, en centimètres, le côté de chaque carré d’aire 7 cm² ?

c. En déduire que $\sqrt{63}=3\sqrt{7}$.

Repère
Conseils

a. Comptez les petits carrés qui constituent le grand carré.

b. Utilisez la définition du cours.

c. Exprimez l’aire du grand carré de deux façons.

solution

a
. L’aire du grand carré est 63 cm² car il contient 9 carrés de 7 cm² chacun et 9 × 7 = 63.

b. Le côté de chaque petit carré mesure $\sqrt{7}$ cm par définition.

c. En centimètres, le côté du grand carré mesure $\sqrt{63}$. Sa mesure en centimètres est aussi égale à $\sqrt{7}+\sqrt{7}+\sqrt{7}=3\sqrt{7}$. Donc $\sqrt{63}=3\sqrt{7}$.

2 Démontrer que $\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}$ lorsquea> 0 etb> 0

conseils

a. Utiliser l’identité remarquable (x + y)² =… et ne pas oublier que $\sqrt{ab}$ est un nombre positif.

b. Calculer la racine carrée du membre à droite de l’inégalité et du membre à gauche.

a. Démontrer que ${(\sqrt{a}+\sqrt{b})}^2=a+2\sqrt{ab}+b$ et en déduire que ${(\sqrt{a}+\sqrt{b})}^2>a+b$.

b. En déduire l’inégalité demandée.

solution

a. ${(\sqrt{a}+\sqrt{b})}^2={\left(\sqrt{a}\right)}^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+{\left(\sqrt{b}\right)}^2=a+2\sqrt{ab}+b$, car comme a> 0 et b> 0, ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$ et $({\sqrt{b)}}^2=b$. Comme $\sqrt{ab}>0$, $a+2\sqrt{ab}+b>a+b$ donc ${(\sqrt{a}+\sqrt{b})}^2>a+b$.

b. ${(\sqrt{a}+\sqrt{b})}^2>a+b\Rightarrow \sqrt{{(\sqrt{a}+\sqrt{b})}^2}>\sqrt{a+b}\Rightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}$.

En effet, les aires des carrés sont classées dans le même ordre que les longueurs de leurs côtés. De plus, $\sqrt{x^2}=x$ si x⩾ 0, avec ici $x=\sqrt{a}+\sqrt{b}$.