On sait calculer l’aire d’un carré de côté a : c’est a2. La racine carrée permet, entre autres, de résoudre le problème inverse : étant donné un carré d’aire a, quel est son côté ? C’est .
I Définition et propriétés
Étant donné un nombre a positif, il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à a. Ce nombre est la racine carrée de a notée .
Exemples : pour les carrés parfaits, on a , , , , , etc.
Pour tout a⩾ 0, : c’est la définition, illustrée par la figure ci-dessous.
Si 0 < a< b alors .
Pour tout réel x, .
En effet donc si x⩾ 0 et six⩽ 0.
La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas.
Repère
À noterLe symbole s’appelle un radical.
II Opérations sur les racines carrées
Soit deux nombres positifs a et b.
La racine carrée d’un produit de deux nombres est égale au produit des racines carrées de ces deux nombres.
Repère
À noterSi a et b sont strictement positifs alors : voir la méthode pour la démonstration.
La racine carrée du quotient de deux nombres est égale au quotient des racines carrées de ces deux nombres.
Si b≠0,
Remarques : • Si b> 0 alors . En effet .
• Pour tous réels a et b positifs : car .
Méthode1 Visualiser la formule
a. Chaque petit carré a pour aire 7 cm². Quelle est l’aire du grand carré représenté ci-contre ?
b. Combien mesure, en centimètres, le côté de chaque carré d’aire 7 cm² ?Repère
c. En déduire que .
Conseils
a. Comptez les petits carrés qui constituent le grand carré.
b. Utilisez la définition du cours.solution
c. Exprimez l’aire du grand carré de deux façons.
a
. L’aire du grand carré est 63 cm² car il contient 9 carrés de 7 cm² chacun et 9 × 7 = 63.
b. Le côté de chaque petit carré mesure cm par définition.
c. En centimètres, le côté du grand carré mesure . Sa mesure en centimètres est aussi égale à . Donc .2 Démontrer que lorsquea> 0 etb> 0
conseils
a. Utiliser l’identité remarquable (x + y)2 =… et ne pas oublier que est un nombre positif.
b. Calculer la racine carrée du membre à droite de l’inégalité et du membre à gauche.
a. Démontrer que et en déduire que .solution
b. En déduire l’inégalité demandée.
a. , car comme a> 0 et b> 0, et . Comme , donc .
b. .En effet, les aires des carrés sont classées dans le même ordre que les longueurs de leurs côtés. De plus, si x⩾ 0, avec ici .