Obtenir l'équilibre d'un solide en rotation autour d'un axe fixe

La rotation autour d'un axe fixe

A) Expérience

Sur un objet, on applique une force $\overrightarrow{\text{F}}$ en un point A. On observe une rotation de l’objet autour de son axe (Δ), jusqu’à ce que la droite d’action de la force rencontre l’axe de rotation : la rotation prend alors fin.

B) Le moment d’une force par rapport à un axe

Le moment d’une force $\overrightarrow{\text{F}}$ par rapport à un axe Δ se note M_Δ($\overrightarrow{\text{F}}$) (on peut aussi écrire : M$\underset{\text{F}}{\to }$/(Δ)). Il caractérise l’effet de rotation d’une force. Son unité est le newton-mètre (Nm).

Définitions

Un levier est une pièce rigide, allongée, possédant un axe de rotation par rapport à une partie fixe.

Le bras de levier est la distance d entre la droite d’action de la force et l’axe de rotation.

Le moment M d’une force $\overrightarrow{\text{F}}$ dépend de la longueur du bras de levier (d) et de l’intensité de la force appliquée (F) :

M_Δ($\overrightarrow{\text{F}}$) = F × d.

Remarque

Si la droite d’action de la force rencontre l’axe de rotation, le moment est nul. Il n’y aura pas de rotation. Il en est de même si la droite d’action est confondue ou parallèle à l’axe de rotation.

C) L’inventaire des moments

Tout système libre ayant un axe de rotation (Δ) est susceptible d’être mis en rotation sous l’action d’une ou de plusieurs forces. Le sens de rotation dépendra de l’ensemble des moments.

Soit le système suivant (schéma ci-contre) :

les trois forces $\overrightarrow{{\text{F}}_{\text{1}}}$, $\overrightarrow{{\text{F}}_{\text{2}}}$ et $\overrightarrow{{\text{F}}_{\text{3}}}$ créent des moments par rapport à l’axe de rotation (Δ), les droites d’action ne rencontrant pas l’axe de rotation ;

le moment M_Δ($\overrightarrow{\text{F}}$) fait tourner la tige dans le sens horaire ;

les moments M_Δ($\overrightarrow{\text{F}}$₁) et M_Δ($\overrightarrow{\text{F}}$₂) la font tourner dans le sens anti-horaire.

Remarque

Si le solide est en équilibre, alors la somme des moments faisant tourner le solide dans un sens est égale à la somme des moments le faisant tourner dans l’autre sens :

M_D($\overrightarrow{\text{F}}$₁) = M_D($\overrightarrow{\text{F}}$₂) + M_D($\overrightarrow{\text{F}}$₃).

Le moment d'un couple de deux forces

On appelle couple de deux forces ($\overrightarrow{{\text{F}}_{\text{1}}}$, $\overrightarrow{{\text{F}}_{\text{2}}}$) un ensemble de deux forces capables de faire tourner un solide autour de son axe dans un sens donné.

Ces forces ont :

des droites d’action parallèles (et non confondues) ;

des valeurs égales : F₁ = F₂ = F ;

des sens opposés.

Le moment d’un couple C se calcule avec la formule :

C = F × d, avec c en Nm, F en N et d en m et avec d = d₁ + d₂.

L'équilibre statique

A) Définition

On dit qu’un corps solide est en équilibre statique si, dans un référentiel terrestre, tous ses points sont immobiles.

Un corps solide est en équilibre statique si les forces qui s’appliquent à lui vérifient les conditions suivantes :

équilibre de translation : la somme géométrique de toutes les forces est nulle : ${\sum }^{\text{}}\overrightarrow{{\text{F}}_{\text{i}}}$ = $\overrightarrow{0}$ ;

équilibre de rotation : la somme de tous les moments est nulle : $\sum M_{\text{O}}\left({\overrightarrow{\text{F}}}_{\text{i}}\right)$ = 0.

B) Le centre de gravité

a) Définition

On appelle centre de gravité G le point d’application du poids $\overrightarrow{\text{P}}$.

À savoir

Lorsqu’un solide est en suspendu par un fil, son centre de gravité se trouve dans le prolongement du fil.

b) Expérience

On suspend un solide plat à un fil en un point A. Une fois le solide stabilisé, on trace le prolongement du fil sur l’objet. On renouvelle l’expérience avec d’autres points d’attache. On constate que toutes les droites d’action sont concourantes au point G.

C) La base de sustentation (ou polygone)

a) Définition

Soit un objet posé sur un support. La base de sustentation est la surface de contact obtenue en joignant tous les points de contact entre le solide et le support.

Elle peut être ponctuelle (dans le cas d’une sphère), linéaire (cylindre, cône), géométrique simple (cube) ou quelconque.

b) Condition d’équilibre d’un objet

Un objet, posé sur un support, est en équilibre si la verticale passant par son centre de gravité coupe la base de sustentation.

c) Formes d’équilibre

Il existe différentes formes d’équilibre :

stable : l’objet, après avoir été écarté légèrement de sa position d’équilibre, y revient naturellement ;

indifférent : l’objet, après avoir été écarté légèrement de sa position d’équilibre, conserve la nouvelle position qu’on lui a donnée ;

instable : l’objet, après avoir été écarté légèrement de sa position d’équilibre, s’en écarte davantage.