Fonctions circulaires (rappels)

A) Rappels

Pour tout nombre réel a ; sin²a + cos²a = 1.

Si cos a ≠ 0, $\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}$ .

B) Valeurs particulières

C) Figures relatives aux angles associés

Plutôt que de chercher à retenir directement les formules suivantes, il vaut mieux apprendre à les retrouver sur une figure. Sur les quatre figures suivantes : les coordonnées de M donnent sin a et cos a, les coordonnées de M’ donnent le sinus et le cosinus des angles associés en fonction de sin a et cos a.

Réels opposés : a et – a.

Pour tout nombre réel a :

sin (– a) = – sin a ;

cos (– a) = cos a.

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On peut retenir que la fonction sinus est impaire et que la fonction cosinus est paire.

Réels dont la somme est π : a et π – a.

Pour tout nombre réel a :

sin (π – a) = sin a ;

cos (π – a) = – cos a.

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Réels dont la différence est π : a et π + a.

Pour tout nombre réel a :

sin (π + a) = – sin a ;

cos (π + a) = – cos a.

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Réels dont la somme est $\frac{π}{2}$ : a et $\frac{π}{2} - a$ .

Le cosinus de l’un est le sinus de l’autre.

Pour tout nombre réel a :

$\sin (\frac{π}{2} - a) = \cos a$ ;

$\cos (\frac{π}{2} - a) = \sin a$ .

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L’ensemble des nombres complexes (rappels)

A) Forme algébrique d’un nombre complexe

En Première, nous avons admis l’existence d’un nouvel ensemble des nombres, noté ℂ, appelé ensemble des nombres complexes.

z = a + bi, où a et b sont deux nombres réels et i tel que i² = – 1, est la forme algébrique du nombre complexe z.

Remarque
Les nombres complexes sont très utilisés en électricité ; afin d’éviter des confusions avec l’intensité i d’un courant électrique, un nombre complexe est alors noté a + bj au lieu de a + bi qui demeure l’écriture utilisée habituellement en mathématiques.

B) Opérations sur les nombres complexes

On peut définir dans ℂ une addition et une multiplication pour lesquelles les règles de calcul sont les mêmes que dans ℝ, avec i² = – 1.

C) Opérations sur les nombres complexes

$\bar{z} = a - b i$ est le nombre complexe conjugué de z = a + bi.

Exemple
Le nombre complexe conjugué de $z = 6 + 2 \sqrt{3} i$ est $\bar{z} = 6 - 2 \sqrt{3} i$ .
Mettre sous la forme a + bi l’inverse d’un nombre complexe.

Exemples
• On se propose de mettre sous la forme a + bi le nombre complexe $z_{3} = \frac{1}{3 + 2 i}$ , inverse de z₁ = 3 + 2i.
$z_{3} = \frac{3 - 2 i}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$ , $z_{3} = \frac{3 - 2 i}{9 - 4 i^{2}}$ , $z_{3} = \frac{3 - 2 i}{9 + 4}, z_{3} = \frac{3}{13} - \frac{2}{13} i$ .
• En procédant comme pour z₃, démontrer que :
$\frac{2 - 3 i}{- 4 - i} = \frac{5}{17} + \frac{14}{17} i$
On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.
On utilise les mêmes identités remarquables que dans ℝ. Remplacer i² par – 1.

Propriétés

Pour tous nombres complexes z₁ et z₂ :

• $\bar{z_{1} + z_{2}} = \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}$ ; • $\bar{z_{1} \times z_{2}} = \bar{z_{1}} \times \bar{z_{2}}$ ; • $z_{1} \neq 0$ , $(\frac{\bar{1}}{z_{1}}) = \frac{1}{\bar{z_{1}}}$ ; • $z_{2} \neq 0$ , $\bar{(\frac{z_{1}}{z_{2}})} = \frac{\bar{z_{1}}}{\bar{z_{2}}}$ .

Représentation géométrique d’un nombre complexe

Le plan est muni du repère orthonormé direct $(O; \vec{u}, \vec{v})$ .

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L’image du nombre complexe z = a + bi est le point M de coordonnées (a, b).

L’affixe du point M de coordonnées (a, b) est le nombre complexe z = a + bi.

Le vecteur image du nombre complexe z = a + bi est le vecteur $\vec{w} = a \vec{u} + b \vec{v}$ .

L’affixe du vecteur $\vec{w} = a \vec{u} + b \vec{v}$ est le nombre complexe z = a + bi.

Si A et B sont deux points d’affixes respectives z_A et z_B, l’affixe du vecteur $\vec{A B}$ est : z_B – z_A.

Exemple
Soit les points A et B d’affixes z_A = 3 + i et z_B = 5 + 2i. A et B sont donc les points de coordonnées (3, 1) et (5, 2).
L’affixe du milieu I du segment [AB] est $z_{I} = \frac{z_{A} + z_{B}}{2}$ .
$z_{I} = \frac{3 + i + 5 + 2 i}{2} = \frac{8 + 3 i}{2} = \frac{8}{2} + \frac{3}{2} i = 4 + \frac{3}{2} i$ . Donc I a pour coordonnées $(4, \frac{3}{2})$ . L’affixe du vecteur $\vec{A B}$ est $z_{\vec{A B}} = z_{B} - z_{A} = 2 + i$ .

Module et argument d’un nombre complexe

A) Forme algébrique d’un nombre complexe

Le module du nombre complexe z = a + bi est le nombre $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Exemples
• Le module de 1 + 2i est : $\sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5}$ . • Le module de – 3i est : $\sqrt{0^{2} + {(- 3)}^{2}} = 3$ .
• Le module de – 3 + j est : $\sqrt{10}$ . • Le module de $- \frac{1}{2}$ est : $\frac{1}{2}$ .
Si M est l’image de z, $| z | = O M$ .
Pour tous points A et B d’affixes z_A et z_B, $AB = | z_{B} - z_{A} |$ .

Le module d’un produit est le produit des modules.

Si $| z^{'} | \neq 0$ , le module du quotient $\frac{z}{z^{'}}$ est le quotient des modules.

Un argument d’un nombre complexe non nul z = a + bi est un nombre réel θ tel que : $(\begin{matrix} \cos θ = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = \frac{a}{(z)} . \\ \sin θ = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = \frac{b}{(z)} . \end{matrix})$ .

Notation : un argument de z se note : argz.

Un argument de z est une mesure de l’angle orienté $(\vec{u}, \vec{O M})$ .

Exemple
On considère le nombre complexe $z = \sqrt{2} + i \sqrt{6}$ .
Le module de z est $| z | = \sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{6})}^{2}}$ , $| z | = \sqrt{8}$ , $| z | = \sqrt{2} \times \sqrt{4}$ , $| z | = 2 \sqrt{2}$ .
Notons θ un argument de z.
$\cos θ = \frac{\sqrt{2}}{(z)} = \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$ , $\cos θ = \frac{1}{2}$ ; $\sin θ = \frac{\sqrt{6}}{(z)} = \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$ , $\sin θ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .
On lit dans le tableau des valeurs particulières du paragraphe ➀ B que $θ = \frac{π}{3}$ (+ k2π). Un argument de z est $\frac{π}{3}$ .
Il faut savoir retrouver rapidement ces valeurs remarquables avec la calculatrice.

B) Forme trigonométrique

Soit z = a + bi un nombre complexe non nul, avec $| z | = r$ et arg z = θ.

Une forme trigonométrique de z est : z = r(cos θ + i sin θ).

Exemple
On considère le nombre complexe $z = 6 + 2 \sqrt{3} i$ . On a : $| z | = 4 \sqrt{3}$ et $\arg z = \frac{π}{6}$ .
Vérifiez-le !
Une forme trigonométrique de z est $z = 4 \sqrt{3} (\cos \frac{π}{6} + i \sin \frac{π}{6})$ .

C) Forme exponentielle

Exponentielle complexe

• Pour tout nombre réel θ, on pose $\cos θ + i \sin θ = e^{i θ}$ .

• Les règles de calcul avec les exponentielles complexes sont les mêmes que celles avec les exponentielles réelles.

Forme (ou écriture exponentielle)

Si $(z) = r$ et $\arg z = θ$ , la forme trigonométrique est : $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ . Avec la notation $\cos θ + i \sin θ = e^{i θ}$ , on obtient : $z = r e^{i θ}$ .

Définition
L’écriture (ou forme) exponentielle du nombre complexe z de module r et d’argument θ est $z = r e^{i θ}$ .

Exemples
• On considère le nombre complexe $z = 2 + 2 i$ .
On établit que $(z) = 2 \sqrt{2}$ et que $\arg z = \frac{π}{4}$ .
Vérifiez-le !
Une forme trigonométrique de z est $z = 2 \sqrt{2} (\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4})$ .
Une forme (ou écriture) exponentielle de z est $z = 2 \sqrt{2} e^{i \frac{π}{4}}$ .
• On considère le nombre complexe z dont la forme exponentielle est $z = 2 e^{- i \frac{π}{3}}$ .
On cherche la forme algébrique de z.
$z_{1} = 2 (\cos (- \frac{π}{3}) + i \sin (- \frac{π}{3})) = 2 (\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 - i \sqrt{3}$ .
Utiliser les résultats du ➀B et du ➀C.

Produit de deux nombres complexes

Si $z_{1} = r_{1} e^{i θ_{1}}$ et $z_{2} = r_{1} e^{i θ_{2}}$ , $z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} e^{i (θ_{1} + θ_{2})}$ .

$(z_{1} \times z_{2}) = (z_{1}) \times (z_{2})$ et $\arg (z_{1} \times z_{2}) = \arg z_{1} + \arg z_{2}$ (à un nombre entier de tours près).

Théorème

Le module d’un produit est le produit des modules.

Un argument d’un produit est la somme des arguments (à un nombre entier de tours près).

Formules d’addition et de duplication

Formules d’addition des sinus et cosinus

Pour tous nombres réels a et b :

• cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b ;

• cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b ;

• sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b ;

• sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b.

Exemple
Pour tout nombre réel x, $\cos (2 x + \frac{π}{4}) = \cos 2 x \cos \frac{π}{4} - \sin 2 x \sin \frac{π}{4}$ ; $\cos \frac{π}{4} = \sin \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ . D’où : $\cos (2 x + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos 2 x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2 x$ .

Formules de duplication

• Pour tout nombre réel a :

sin 2a = 2 sin a cos a ;

cos 2 a = cos² a – sin² a.

• Pour tout nombre réel a :

cos 2a = 2 cos² a – 1 ;

cos 2 a = 1 – 2 sin² a.

Formules de linéarisation

Pour tout nombre réel a : $\cos^{2} a = \frac{1 + \cos 2 a}{2}$ ; $\sin^{2} a = \frac{1 - \cos 2 a}{2}$ .

Exemple
Pour tout x de ℝ, $\cos^{2} 2 x = \frac{1 + \cos 4 x}{2}$ .

Utiliser une formule de duplication ou de linéarisation pour calculer une intégrale.

Exemples
• Calcul de $I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin 2 x \cos 2 x d x$
Pour tout a de ℝ, $\sin a \cos a = \frac{1}{2} \sin 2 a$ , donc $\sin 2 x \cos 2 x = \frac{1}{2} \sin 4 x$ .
Donc $I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{2} \sin 4 x d x$ ,
$I = {(\frac{1}{2} \times (- \frac{1}{4} \cos 4 x))}_{0}^{\frac{π}{4}}$ ,
$I = - \frac{1}{8} (\cos π - \cos 0) = - \frac{1}{8} (- 1 - 1)$ .
car $\cos π = - 1$ et $\cos 0 = 1$ .
D’où $I = - \frac{1}{8} (- 2) = \frac{1}{4}$ .
Pour calculer une primitive de $x \mapsto \cos 4 x$ utiliser le résultat du ➁B du chapitre 6.
• Calcul de $J = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} 3 x d x$ .
Pour tout a de ℝ, $\cos^{2} a = \frac{1 + \cos 2 a}{2}$ , donc $\cos^{2} 3 x = \frac{1 + \cos 6 x}{2}$ .
Donc $J = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos 6 x}{2} d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 6 x) d x$ ;
$J = {(\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \sin 6 x))}_{0}^{\frac{π}{2}}$ ;
$J = (\frac{π}{4} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} \sin 3 π) - 0$ , puisque $\sin 0 = 0$ ;
$\sin 3 π = 0$ , d’où $J = \frac{π}{4}$ .
Pour calculer une primitive de $x \mapsto \cos 6 x$ utiliser le résultat du ➁B du chapitre 6.

Expression complexe des translations, notations et homothéties

A) Translation

Théorème 1

Soit f l’application z ↦ f(z) = z + b où b est un nombre complexe quelconque fixé.

Soit M l’image de z et soit M′ l’image de f(z) dans le plan complexe.

L’application M ↦ M’ ainsi définie est la translation de vecteur $\vec{w}$ où $\vec{w}$ est le vecteur image de b.

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Exemple
On considère l’application f : $z \mapsto z + 1 + i$ .
D’après le théorème 1, f est associée à la translation de secteur $\vec{w}$ où $\vec{w}$ est le vecteur image de 1 + i.
• On a, par exemple, $f (i) = i + (1 + i) = 1 + 2 i$ .
• Si A est le point d’affixe i et B le point d’affixe 2 − i, par exemple, l’image de la droite (AB) par la translation de vecteur $\vec{w}$ est la droite (A′B′) où A′ est le point d’affixe $f (i) = 1 + 2 i$ et B′ le point d’affixe $f (2 - i) = 3$ .
On sait qu’une translation transforme une droite en une droite.
Faire une figure.

B) Rotation

Théorème 2

Soit f l’application z ↦ f(z) = a z où a = e ⁱ^α est un nombre complexe fixé de module 1.

Soit M l’image de z et soit M′ l’image de f(z) dans le plan complexe orienté.

L’application M ↦ M′ ainsi définie est la rotation de centre l’origine O du repère et d’angle α.

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Exemple
On considère l’application f : $z \mapsto e^{i \frac{π}{3}} z$ .
D’après le théorème 2, f est associée à la rotation de centre l’origine O du repère et d’angle de mesure $\frac{π}{3}$ .
• Si A est le point d’affixe 2, l’image du point A par la rotation est le point A′ d’affixe $f (2) = 2 e^{i \frac{π}{3}} = 2 (\cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3})$ , $f (2) = 2 (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + i \sqrt{3}$ .
• Par exemple, l’image du cercle de centre A, de rayon 2, par cette rotation est le cercle de centre A′, de rayon 2.
On sait qu’une translation transforme un cercle en un cercle de même rayon.
Faire une figure.

C) Homothétie

Théorème 3

Soit f l’application z ↦ f(z) = a z où a est un nombre réel fixé non nul.

Soit M l’image de z et soit M′ l’image de f(z) dans le plan complexe orienté.

L’application M ↦ M′ ainsi définie est l’homothétie de centre l’origine O du repère et de rapport a.

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Exemple
On considère l’application f : $z \mapsto 2 z$ .
D’après le théorème 3, f est associée à l’homothétie de centre O l’origine du repère et de rapport 2.
• Si A est le point d’affixe 2i, l’image du point A par l’homothétie est le point A′ d’affixe $f (2 i) = 4 i$ . L’image du point B d’affixe 1 + i est le point B′ d’affixe $f (1 + i) = 2 + 2 i$ .
• L’image de la droite (AB) par cette homothétie est la droite (A′B′)
On sait qu’une homothétie transforme une droite en une droite.
Faire une figure.

Nombres complexes

Fonctions circulaires (rappels)

A) Rappels

B) Valeurs particulières

C) Figures relatives aux angles associés

L’ensemble des nombres complexes (rappels)

A) Forme algébrique d’un nombre complexe

B) Opérations sur les nombres complexes

C) Opérations sur les nombres complexes

Représentation géométrique d’un nombre complexe

Module et argument d’un nombre complexe

A) Forme algébrique d’un nombre complexe

B) Forme trigonométrique

C) Forme exponentielle

Formules d’addition et de duplication

Expression complexe des translations, notations et homothéties

A) Translation

B) Rotation

C) Homothétie