Modélisation de l'écoulement d'un fluide

Cette fiche est la suite du cours sur la statique des fluides et aborde le sujet suivant : la modélisation de l'écoulement d'un fluide.

On suppose dans toute la suite que le référentiel d'étude est galiléen.

I. Définitions

1. Modèle de la particule fluide

$\bullet\quad$On appelle particule fluide une partie du fluide dont le volume est :

$\quad\circ\quad$ Suffisamment petit à notre échelle pour être assimilé à un point,

$\quad\circ\quad$ Et suffisamment grand pour contenir un très grand nombre d'atomes (ou molécules).

$\bullet\quad$Un fluide peut être considéré à notre échelle comme un milieu continu déformable, composé de nombreuses particules fluides (voir figure ci-dessus).

$\bullet\quad$Le grand nombre d'atomes (ou molécules) dans chaque particule fluide va permettre de définir des grandeurs physiques moyennes (comme la pression) et ainsi caractériser le fluide en chacun de ses points.

$\bullet\quad$Chaque particule fluide peut aussi avoir un mouvement d'ensemble caractérisé par la vitesse de son centre de masse.

2. Viscosité d'un fluide

$\bullet\quad$La viscosité caractérise la difficulté avec laquelle un fluide s'écoule.

$\bullet\quad$Ainsi le miel ou la sève sont des liquides très visqueux : ils s'écoulent très lentement et collent aux parois.

$\bullet\quad$En revanche, l'eau est peu visqueuse.

3. Fluide parfait

Un fluide est parfait (ou idéal) si sa viscosité est négligeable : il n'y a aucun frottement du fluide contre les parois, ni entre les différentes couches du fluide.

4. Écoulement permanent

$\bullet\quad$Un écoulement est permanent si la vitesse des particules fluides passant en un point particulier reste la même (constante) au cours du temps.

$\bullet\quad$$\textcolor{red}{\text{Attention !}}$ Ceci ne signifie pas que les particules fluides ont une vitesse constante. Cela signifie que si on considère un tuyau par exemple, les nombreuses particules qui en sortent au cours du temps ont toutes la même vitesse de sortie.

II. Mouvement d'un fluide

$\bullet\quad$L'étude d'un fluide en mouvement est beaucoup plus complexe que celle d'un point matériel ou d'un solide.

$\bullet\quad$Après avoir choisi un référentiel et défini le système, c'est-à-dire un ensemble de particules fluides, il faut décrire le mouvement du fluide par un champ de vitesse, qui est l'ensemble des vecteurs vitesse de toutes les particules fluides.

1. Hypothèses

$\bullet\quad$Dans toute la suite, nous ferons les hypothèses simplificatrices suivantes :

$\quad\circ\quad$ Le fluide est parfait et incompressible ;

$\quad\circ\quad$ L'écoulement est permanent (ou encore stationnaire) ;

$\quad\circ\quad$ L'écoulement n'est pas turbulent, on dit qu'il est laminaire : par exemple le filet d'eau sortant d'un robinet ou un écoulement d'huile sont en général laminaires, c'est-à-dire très régulier, sans tourbillon. À l'opposé, l'écoulement d'un torrent de montagne est turbulent, du fait des obstacles que rencontre l'eau.

2. Propriétés de l'écoulement permanent d'un fluide parfait incompressible

$\bullet\quad$Soit la modélisation de l'écoulement suivante :

$\bullet\quad$Ce type d'écoulement a les caractéristiques suivantes :

$\quad\circ\quad$ Dans toute section droite de l'écoulement la vitesse des particules fluides est uniforme ;

$\quad\circ\quad$ Lors de l'écoulement, chaque particule fluide suit une certaine trajectoire, appelée ligne de courant : la particule garde un volume constant le long de sa ligne de courant, mais elle peut se déformer tandis que sa vitesse et sa pression peuvent varier.

$\quad\circ\quad$ En régime laminaire, l'écoulement reste confiné dans des tubes de courant, c'est-à-dire des ensembles de lignes de courant qui se déforment au cours de l'écoulement. Les tubes de courant se comportent comme des "tuyaux" entourant les particules fluides : le fluide ne peut pas traverser un tube de courant (de même qu'il ne peut pas traverser la paroi d'un (vrai) tuyau qui pourra être assimilée à un tube de courant).

$\quad\circ\quad$ D'autre part, l'écoulement vérifie certaines lois simples comme celle de Bernoulli (voir la fiche de cours suivante).

$\bullet\quad$Remarque : dans un écoulement laminaire, les lignes de courant sont simples et deux lignes de courant voisines restent voisines au cours du temps.

III. Conservation du débit volumique

1. Définition générale

$\bullet\quad$Le débit volumique, noté $D_V$, est la grandeur physique qui caractérise le volume $V$ de fluide qui traverse une surface $S$ donnée par unité de temps ($\Delta t$) :

$\boxed{D_V = \dfrac{ V}{ \Delta t}}$

Son unité est le mètre cube par seconde ($m^3/s$).

$\bullet\quad$Débit volumique d'un écoulement incompressible :

$\quad\circ\quad$ Dans un écoulement incompressible, le volume d'une particule fluide reste constant au cours du temps et le débit volumique $D_V$ a alors une expression très simple :

$\boxed{D_V = v \times S}$

avec :

$\circ\quad$ $D_V$ : débit volumique (en m$^3$/s) ;

$\circ\quad$ $S$ : surface traversée par l'écoulement (en m$^2$) ;

$\circ\quad$ $v$ : vitesse d'écoulement du fluide (en m/s).

$\textcolor{red}{\text{Attention !}}$ La vitesse $\overrightarrow{v}$ du fluide traversant la surface doit être uniforme et normale à la surface. C'est bien le cas dans toute section droite si le fluide est parfait.

2. Conservation du débit volumique

$\bullet\quad$Propriété :

Lors d'un écoulement incompressible et permanent, le débit volumique se conserve le long d'un tube de courant : il ne dépend ni du temps ni de la surface choisie.

$\bullet\quad$Remarques :

$\quad\circ\quad$ La conservation du débit volumique est assez intuitive : chaque seconde, le volume d'eau qui entre dans un tuyau ressort à l'autre extrémité (sauf s'il y a une fuite). La physique précise toutefois que ce n'est vrai que pour un fluide incompressible en écoulement permanent.

$\quad\circ\quad$ Cette loi de conservation est très utile pour calculer la vitesse du fluide en différents endroits.

$\bullet\quad$Exemple :

$\bullet\quad$Considérons un tuyau de section variable dans lequel circule de l'eau :

$\bullet\quad$ Ainsi :

$\quad\circ\quad$ En régime permanent et en assimilant l'eau à un fluide parfait incompressible, la conservation du débit volumique $D_V$ tout au long de l'écoulement nous permet d'écrire les relations :

$\boxed{D_V = v_1 \cdot S_1 = v_2 \cdot S_2 = v_3 \cdot S_3}$

$\quad\circ\quad$ La surface des sections droites étant en général connue (car elle ne dépend que de la géométrie du tuyau), il suffit alors de connaître une des vitesses pour en déduire les autres, à n'importe quel endroit de l'écoulement !

_{= Merci à krinn pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche =}