Les interactions

A) Le champ électrostatique entre deux armatures planes

Entre deux armatures A et B planes séparées d’une distance d par un isolant et soumises à une tension électrique U_AB, un champ électrostatique $\vec{E}$ uniforme est présent. Ce champ est vectoriel, perpendiculaire aux armatures et dirigé de l’armature positive vers l’armature négative. Sa norme E vaut E = $\frac{U}{d}$ et elle s’exprime en volt par mètre (V.m^–1).

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B) La force électrostatique exercée sur une particule chargée

Une particule chargée q, placée dans un champ électrique $\vec{E}$ est soumise à une force $\vec{F}$ , dont la norme est :

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La force exercée est colinéaire au vecteur champ électrostatique :

dans le même sens si la charge q est positive (voir ${\vec{F}}_{+}$ surle schéma) ;

dans le sens opposé si la charge q est négative (voir ${\vec{F}}_{-}$ sur le schéma).

Le bilan de forces exercées sur un système

En mécanique, on étudie un système (en général un solide) et plus particulièrement un point, le centre de gravité G. On recherche alors quelles sont les forces qui s’exercent sur ce système. Pour ne pas en oublier, on recherche les interactions possibles avec ce qui se trouve autour du système.

Exemples
• Un livre est posé sur une table. Il y a autour de lui :
la table : interaction de contact $\vec{F}$ _table/livre dirigée verticalement vers le haut ;
l’air : pas d’interaction ;
la terre : interaction à distance, le poids $\vec{P}$ = $\vec{F}$ _terre/livre dirigé verticalement vers le bas.
Le livre est immobile et donc soumis à deux forces verticales qui se compensent.
• Un skieur descend une piste enneigée. Il y a autour de lui :
l’air : interaction de contact $\vec{F}$ _air/skieur dirigée à l’opposé du mouvement (sans vent) ;
la neige : interaction de contact $\vec{F}$ _neige/skieurperpendiculaire à la piste s’iln’y a pas de frottement ou en biais s’il y en a ;
la terre : interaction à distance, le poids $\vec{P}$ = $\vec{F}$ _terre/skieur dirigé verticalement vers le bas.
Si le skieur a un mouvement uniforme, alors la somme des vecteurs forces est nulle ; s’il accélère, alors la somme des vecteurs forces est dirigée vers le bas de la pente, et s’il ralentit, alors la somme des vecteurs forces est dirigée dans le sens contraire du mouvement.

Le vecteur accélération

L’accélération moyenne, notée a_moy, est liée à la variation de la vitesse ∆v et à la durée ∆t.

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L’accélération instantanée du point est le rapport de la variation de vitesse Δv par une durée ∆t infiniment petite.

Ainsi, l’accélération a est la limite de l’accélération moyenne a_moy lorsque Δt tend vers 0. C’est donc mathématiquement la dérivée de la variation de vitesse Δv par rapport au temps :

a = lim_∆t→₀ a_moy = lim_∆t→₀ $\frac{Δ v}{Δ t}$ = $\frac{d v}{d t}$ .

Si on dispose d’une courbe indiquant la vitesse au cours du temps, l’accélération à une date donnée est la pente de la tangente à la courbe pour cette date.

L’accélération moyenne ou instantanée permet d’obtenir la norme de l’accélération, mais sans apporter d’information sur sa direction ou son sens.

Le vecteur accélération, noté $\vec{a}$ , est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps : $\vec{a}$ = $\frac{d \vec{v}}{d t}$ .

Dans le cas d’un mouvement plan, le vecteur vitesse $\vec{v}$ (v_x, v_y) et le vecteur accélération $\vec{a}$ (a_x, a_y) ont deux coordonnées. L’abscisse du vecteur accélération a_x est la dérivée de l’abscisse du vecteur vitesse par rapport au temps : a_x = $\frac{d v_{x}}{d t}$ . L’ordonnée du vecteur accélération a_y est la dérivée de l’ordonnée du vecteur vitesse par rapport au temps : a_y = $\frac{d v_{y}}{d t}$ .

En ayant le vecteur accélération, on dispose d’informations sur sa direction, son sens et sa norme au cours du temps.

Remarque
En physique, l’étude des mouvements est réalisée en fonction du temps. Les coordonnées des vecteurs s’expriment donc en fonction du temps. La dérivation par rapport au temps fonctionne comme la dérivation par rapport à x en mathématiques : la dérivée f′(x) est la dérivée de la fonction f par rapport à x, on peut la noter f′(x) = $\frac{d f (x)}{d x}$ .
Si f(x) = 4x – 2 alors f′(x) = 4 ; si f(x) = 9x² – 3x + 5 alors f′(x) = 18x – 3.
En physique, la technique à utiliser est la même :
Si x(t) = 4t – 2 alors $\frac{dx (t)}{dt}$ = 4 ; si y(t) = 9t² – 3t + 5 alors $\frac{dy (t)}{dt}$ = 18t – 3.

Les lois de Newton

A) La première loi de Newton

Dans un référentiel galiléen, si la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un système est nulle, alors le vecteur vitesse du centre de gravité du système est constant, ce qui équivaut à un mouvement rectiligne et uniforme de son centre de gravité (cela signifie que le vecteur accélération est nul).

Remarque
Inversement, si le centre de gravité est immobile ou s’il adopte un mouvement rectiligne et uniforme, c’est que la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à ce système est nulle.

B) La deuxième loi de Newton

Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un système est égale au produit de la masse de ce système par son vecteur accélération : Σ $\vec{F}$ _ext = m × $\vec{a}$ .

Remarque
La première loi de Newton est un cas particulier de la deuxième loi : si Σ $\vec{F}$ _ext = $\vec{0}$ , alors $\vec{a}$ = $\vec{0}$ , donc le vecteur vitesse est constant et le mouvement est rectiligne et uniforme.

C) La troisième loi de Newton (principe des interactions)

Dans un référentiel galiléen, lorsque deux points matériels A et B sont en interaction, alors les forces $\vec{F}$ _A/B et $\vec{F}$ _B/A ont la même direction, la même norme et ont un sens opposé.

Remarque
C’est le cas de la force d’interaction gravitationnelle : la Terre exerce sur la Lune une force ayant la même direction, la même norme et un sens opposé par rapport à la force exercée par la Lune sur la Terre. Cependant, c’est la Lune qui tourne autour de la Terre, car cette dernière a une masse beaucoup plus importante.

L’application des lois de Newton

A) Le mouvement plan de chute libre

Un système est considéré en chute libre lorsqu’il est uniquement soumis à son poids.

On considère un terrain de football et un ballon partant de l’origine 0(0 ; 0) d’un repère avec un vecteur vitesse ${\vec{v}}_{0}$ faisant un angle α avec l’horizontale. Sa trajectoire sera parabolique (voir ci-contre).

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L’étude mécanique de ce mouvement se fait de manière rigoureuse et dans l’ordre suivant :

le système est le ballon ;

le référentiel est le terrain de football, considéré comme galiléen pendant le tir ;

le bilan des forces se limite au poids $\vec{P}$ = m. $\vec{g}$ , puisqu’il s’agit d’une chute libre ;

la deuxième loi de Newton s’écrit alors Σ $\vec{F}$ _ext = m $\vec{a}$ , soit $\vec{P}$ = m. $\vec{g}$ . = m. $\vec{a}$ . Ainsi $\vec{a}$ = $\vec{g}$ .

Or, le champ de pesanteur a comme coordonnées $\vec{g}$ (0 ; – g), puisqu’il est vertical vers le bas, et sa norme est g. Le vecteur accélération a les mêmes coordonnées $\vec{a}$ (t) (0 ; – g).

Le vecteur accélération est constant et vertical vers le bas :

le mouvement sera uniforme sur l’axe des abscisses puisque a_x = 0 ;

le mouvement sera uniformément varié sur l’axe des ordonnées puisque a_y = constante.

L’étude mécanique continue en intégrant les coordonnées du vecteur accélération $\vec{a}$ (t) par rapport au temps afin de trouver celles du vecteur vitesse $\vec{v}$ (t) (puisque le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps).

Une primitive de 0 est une constante C₁ et une primitive d’une constante –g est une fonction affine –g × t + C₂.

Ainsi, le vecteur vitesse a les coordonnées : $\vec{v}$ (t) (v_x(t) = C₁ ; v_y(t) = –g × t + C₂).

C₁ et C₂ sont des constantes d’intégration, que l’on détermine grâce aux conditions initiales de vitesse du tir. Au temps t = 0, le vecteur vitesse est $\vec{v}$ ₀ (v₀.cos α ; v₀.sin α) (ses coordonnées sont obtenues en projetant l’hypoténuse v₀ qui est la norme du vecteur), il doit être égal à $\vec{v}$ (0) (v_x(0) = C₁ ; v_y(0) = –g.0 + C₂). On obtient alors C₁ = v₀.cos α et C₂ = v₀.sin α.

Le vecteur vitesse a donc pour coordonnées : $\vec{v}$ (t) (v_x(t) = v₀.cos α ; v_y(t) = –g.t + v₀.sin α).

L’étude mécanique continue en intégrant les coordonnées du vecteur vitesse $\vec{v}$ (t) par rapport au temps afin de trouver celles du vecteur position $\vec{OG}$ (t) (puisque le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps). Une primitive de v₀.cos α est une fonction affine (v₀.cos α) × t + C₃ et une primitive de (–g.t + v₀.sin α) est une fonction du second degré – ½ g.t² + (v₀.sin α) × t + C₄.

Ainsi, le vecteur position a les coordonnées : $\vec{OG}$ (t) (x(t) = (v₀.cos α).t + C₃ ; y(t) = –½ g.t² + (v₀.sin α).t + C₄).

C₃ et C₄ sont des constantes d’intégration, que l’on détermine grâce aux conditions initiales de position du tir. Au temps t = 0, le vecteur position est $\vec{OG}$ ₀ = $\vec{OO}$ (0 ; 0) (le point de départ est l’origine), il doit être égal à $\vec{OG}$ (0) (x(0) = (v₀.cos α).0 + C₃ ; y(0) = –g.0 + (v₀.sin α).0 + C₄). On obtient alors C₃ = 0 et C₄ = 0.

Le vecteur position a donc pour coordonnées : $\vec{O G}$ (t) (x(t) = (v₀.cos α).t ; y(t) = –½ g.t² + (v₀.sin α).t).

Le mouvement est bien uniforme selon x et uniformément varié selon y.

B) Le mouvement rectiligne avec une force de frottement

On considère un ion de charge q = e dans une cuve d’électrophorèse comportant deux chevalets séparés d’une distance d et soumises à une tension U. Un champ électrostatique uniforme $\vec{E}$ de norme E = $\frac{U}{d}$ est présent entre les armatures.

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L’étude mécanique de ce mouvement se fait de manière rigoureuse et dans l’ordre suivant :

le système est l’ion ;

le référentiel est la cuve d’électrophorèse ou le laboratoire considéré comme galiléen pendant la manipulation ;

le bilan des forces comporte la force électrique $\vec{F}$ _e = q × $\vec{E}$ ainsi qu’une force de frottement fluide colinéaire et de sens contraire au vecteur vitesse $\vec{F}$ = –k × $\vec{v}$ , où k est une constante pour la force de frottement. On considère que le poids est négligeable ;

la deuxième loi de Newton s’écrit alors Σ $\vec{F}$ _ext = m × $\vec{a}$ = $\vec{F}$ _e + $\vec{F}$ = q × $\vec{E}$ – k × $\vec{v}$ .

L’ion va accélérer jusqu’à ce que la force de frottement fluide compense la force électrique, alors l’accélération sera nulle : $\vec{a}$ = $\vec{O}$ , soit m × $\vec{O}$ = $\vec{O}$ = q × $\vec{E}$ – k × $\vec{v}$ .

La vitesse limite est déterminée par $\vec{v}$ = $\frac{q}{k} \times \vec{E}$ soit en norme v_lim = $\frac{(q) x E}{k}$ .

C) Le mouvement rectiligne vertical avec frottement visqueux

On considère une bille lâchée sans vitesse initiale dans un liquide visqueux. L’étude mécanique de ce mouvement se fait de manière rigoureuse et dans l’ordre suivant :

le système est la bille ;

le référentiel est le tube contenant le liquide visqueux considéré comme galiléen pendant la manipulation ;

le bilan des forces comporte le poids $\vec{P}$ = m × $\vec{g}$ et aussi une force frottement fluide colinéaire et de sens contraire au vecteur vitesse $\vec{F}$ = –k × $\vec{v}$ . On considère que la poussée d’Archimède est négligeable ;

la deuxième loi de Newton s’écrit alors Σ $\vec{F}$ _ext = m × $\vec{a}$ = $\vec{P}$ + $\vec{F}$ = m × $\vec{g}$ – k × $\vec{v}$ .

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Or $\vec{a}$ = $\vec{\frac{dv}{dt}}$ , donc m × $\vec{\frac{d v}{d t}}$ = m × $\vec{g}$ – k × $\vec{v}$ : c’est une équation différentielle du premier ordre en $\vec{v}$ .

Le régime permanent sera atteint lorsque la force de frottement fluide compensera le poids, alors l’accélération sera nulle : $\vec{a}$ = $\vec{\frac{d v}{d t}}$ = $\vec{O}$ , soit m × $\vec{O}$ = $\vec{O}$ = m × $\vec{g}$ – k × $\vec{v}$ .

La vitesse limite est déterminée par $\vec{v}$ = $\frac{m}{k} \times \vec{g}$ soit en norme v_lim = $\frac{m \times g}{k}$ .

La solution de l’équation différentielle se trouve en deux étapes :

on recherche la solution générale de l’équation sans second membre en enlevant les vecteurs : m × $\frac{dv}{dt}$ = – k × v, soit $\frac{dv}{dt}$ = – $\frac{k}{m}$ × v, ce qui donne une solution v(t) = A × $e^{- \frac{k \times t}{m}}$ + B. Or à t = 0, v(0) = 0, ainsi 0 = A × $e^{- \frac{k \times 0}{m}}$ + B = A + B, donc A = –B. Donc v(t) = B × (1 – $e^{- \frac{k \times t}{m}}$ ).

la solution particulière a été trouvée avant avec le régime permanent. La vitesse v(t) = B × (1 – $e^{- \frac{k \times t}{m}}$ ) est alors égale B et à la vitesse limite puisque exp(– $e^{- \frac{k \times 0}{m}}$ ) tend vers 0. Ainsi, B = v_lim = $\frac{m \times g}{k}$ et donc v(t) = $\frac{m \times g}{k}$ × (1 – $e^{- \frac{k \times t}{m}}$ ).

La courbe obtenue expérimentalement est présentée page suivante :

elle comporte d’abord le régime transitoire tant que la vitesse limite n’est pas atteinte,

puis le régime permanent, alors la bille a un mouvement rectiligne et uniforme puisque l’accélération est nulle.

Le temps caractéristique τ est trouvé graphiquement lorsque la tangente à la courbe au temps 0 croise l’asymptote v = v_lim. Le régime transitoire dure 5 τ.

On peut montrer que τ = $\frac{m}{k}$ . La solution s’écrit alors v(t) = v_lim × (1 – $e^{- \frac{t}{τ}}$ ).

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Les mouvements et les interactions