Les mesures du méridien terrestre

Dès l’Antiquité, considérant la Terre comme une sphère, des savants ont cherché à en déterminer le rayon en mesurant la longueur du méridien terrestre.

I La méthode d’Ératosthène

Vers 200 av. J.-C., le Grec Ératosthène utilise une méthode géométrique pour déterminer la circonférence de la Terre.

Il part des hypothèses suivantes : la Terre est une sphère et le Soleil est considéré comme suffisamment éloigné pour que ses rayons soient parallèles en arrivant à la surface de la Terre (doc. 1).

La ville de Syène (aujourd’hui Assouan) se situe à peu près sur un parallèle appelé tropique du Cancer. De ce fait, à midi, au solstice d’été, le soleil est exactement à la verticale (au zénith) et peut éclairer le fond d’un puits.

Le même jour et à midi, à Alexandrie, ville éloignée de 5 000 stades (environ 800 km), les rayons du soleil font un angle α avec la verticale que l’on peut calculer en mesurant l’ombre d’un obélisque dont la hauteur est connue, l’ensemble formant un triangle rectangle (doc. 2).

Repère
À noter

$\tan \alpha =\left(\frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}\right)$ $\alpha =\text{arctan}\left(\frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}\right)$

On utilise la relation trigonométrique :

$\alpha =\text{arctan}\left(\frac{\text{longueur de l’ombre projetée}}{\text{hauteur de l’obélisque}}\right)$

L’angle α ainsi mesuré est égal à l’angle au centre de la Terre interceptant l’arc Alexandrie-Syène, car il s’agit d’angles alternes-internes et les rayons solaires sont parallèles (doc. 1).

La circonférence P correspond à un angle de 360°.

Par une relation de proportionnalité :

D’où : $P=\frac{800\times 360}{\mathrm{7,2}}=\mathrm{4,0}\times {10}^4\text{km}$, soit 40 000 km environ.

Cette méthode est valable si les deux villes se situent sur le même méridien.

II La triangulation plane

Le principe de la triangulation repose sur la connaissance de deux angles et de la longueur d’un côté d’un triangle. Ainsi, on peut déterminer le troisième angle et la longueur des deux autres côtés.

Dans un triangle ABC, la somme des angles est égale à 180°. La mesure des deux angles $\left(\widehat{\text{BAC}}\right)\text{ et }\left(\widehat{\text{ABC}}\right)$ permet donc de déduire l’angle $\left(\widehat{\text{ACB}}\right)$.

Repère
À noter

Loi des sinus :

$\frac{\left[\text{BC}\right]}{\text{sin}(\widehat{\text{BAC})}}=\frac{\left[\text{AC}\right]}{\text{sin}(\widehat{\text{ABC})}}=\frac{\left[\text{AB}\right]}{\text{sin}(\widehat{\text{ACB})}}$

La connaissance d’un côté, par exemple [AC], permet de calculer les côtés [BC] et [AB] :

$\left[\text{BC}\right]=\left[\text{AC}\right]\times \frac{\text{sin}(\widehat{\text{BAC})}}{\text{sin}(\widehat{\text{ABC})}}$

De 1792 à 1798, cette méthode a été utilisée par Jean-Baptiste Delambre et Pierre Méchain pour mesurer la longueur du méridien entre Dunkerque et Barcelone.

Zoom

Mesure du méridien terrestre par Delambre et Méchain

Le segment [AG] représente l’arc de méridien entre Dunkerque et Barcelone. Une série de triangles adjacents au segment le découpe en différents segments [AB′], [B′C′], jusqu’à G. Connaissant la distance entre deux villes (le côté d’un triangle) et grâce à des visées (en haut de clochers, de tours…), les deux astronomes ont mesuré les angles des triangles ainsi que chaque segment les composant, calculant au fur et à mesure chaque portion du segment [AG].

Connaissant la différence de latitude entre les deux villes (9,5°) et la longueur du segment [AG] (1 075 km), ils ont calculé, grâce une relation de proportionnalité (comme pour la méthode d’Ératosthène), la longueur du méridien terrestre et ont trouvé 20 522 960 toises, soit 39 999,24904 km.