Le vecteur vitesse et sa variation

Le déplacement et la vitesse d’un point mobile sont caractérisés par une direction, un sens et une valeur : ils peuvent donc être associés à des vecteurs représentés par des flèches.

I Vecteurs déplacement et vitesse

Les positions d’un mobile M sont enregistrées à intervalles de temps réguliers ∆t.

Le vecteur déplacement $\overrightarrow{\text{MM}\prime }$ est représenté par une flèche entre les points M et M′.

Le vecteur vitesse $\overrightarrow{v}$ est : colinéaire au vecteur $\overrightarrow{\text{MM}\prime }$ ; dans le sens du mouvement ; de valeur (ou norme) : $\frac{\text{MM}\prime }{\Delta t}$. Il est représenté par une flèche de même direction et de même sens que $\overrightarrow{\text{MM}\prime }$ et de longueur proportionnelle à sa valeur, en fonction de l’échelle de représentation choisie.

• Sur la figure 1, M et M′ sont éloignés : on définit ainsi est un vecteur vitesse moyenne entre M et M′.

• Sur la figure 2, lorsque M et M′ sont suffisamment proches, $\overrightarrow{v}$ tend vers le vecteur vitesse instantanée en M.

II La variation du vecteur vitesse

Pour décrire la variation du vecteur vitesse pendant le mouvement entre deux points M1 et M2, il faut prendre en compte sa direction et sa valeur.

• Si la trajectoire est rectiligne, la variation de la valeur du vecteur indique la variation de la vitesse (sur la figure 3, la valeur de la vitesse augmente).

• Si la trajectoire n’est pas rectiligne et si la vitesse est constante, alors c’est la direction du vecteur vitesse qui change (comme sur la figure 4).

MéthodeReprésenter des vecteurs vitesse et décrire la variation de la vitesse

Une voiture jouet a été photographiée pendant son mouvement, toutes les 0,5 s devant une échelle graduée en mètres et posée sur le sol.

a. Décrire le mouvement de la voiture en précisant le référentiel choisi.

b. Déterminer la valeur de sa vitesse moyenne sur les déplacements M2M3 et M4M5.

c. Tracer les vecteurs vitesse $\overrightarrow{v_2}$ et $\overrightarrow{v_4}$ en choisissant comme échelle 1 cm (sur le dessin) pour 2 m · s^–1 (vitesse calculée).

d. Décrire la variation du vecteur vitesse entre les points M2 et M4.

Repère
Conseils

a. Indiquez la trajectoire et la variation de vitesse.

b. La distance parcourue toutes les 0,5 s est lue sur l’échelle graduée.

c. Pour tracer les vecteurs vitesse, tracez d’abord les vecteurs déplacement.

d. Comparez les vecteurs vitesse $\overrightarrow{v_2}$ et $\overrightarrow{v_4}$ (direction et valeur).

Solution

a. Le mouvement de la voiture est étudié dans le référentiel « sol » (ou référentiel terrestre). Les positions successives sont alignées et de plus en plus écartées : le mouvement est donc rectiligne (horizontal) et accéléré (la vitesse augmente).

b. $v_2=\frac{{\text{M}}_2{\text{M}}_3}{\Delta t}=\frac{\left(\mathrm{3,4}-\mathrm{1,8}\right)}{\mathrm{0,5}}=\mathrm{3,2}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$ $v_4=\frac{{\text{M}}_4{\text{M}}_5}{\Delta t}=\frac{\left(\mathrm{7,5}-\mathrm{5,3}\right)}{\mathrm{0,5}}=\mathrm{4,4} \text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$

c. Colinéaires aux vecteurs déplacements, les vecteurs $\overrightarrow{v_2}$ et $\overrightarrow{v_4}$ sont représentés aux points M2 et M4 suivant la direction et le sens du mouvement avec des flèches de longueurs 1,6 cm $\left(\frac{\mathrm{3,2}}{2}\right)$ et 2,2 cm $\left(\frac{\mathrm{4,4}}{2}\right)$ en tenant compte de l’échelle imposée.

d. Entre les points M2 et M4 le vecteur vitesse ne change pas de direction car le mouvement est rectiligne, mais sa norme augmente car la valeur de la vitesse augmente.