L’énergie mécanique

Le travail élémentaire d’une force

A) Le travail d’une force sur un déplacement élémentaire

Le travail d’une force mesure l’effet de cette force sur le déplacement de son point d’application :

si cette force contribue au déplacement de son point d’application, on dit que son travail est moteur ;

si cette force tend à s’opposer au déplacement de son point d’application, on dit que son travail est résistant.

Un déplacement élémentaire $\overrightarrow{\text{dl}}$ est un très petit déplacement le long de la trajectoire.

Le travail dW($\overrightarrow{\text{F}}$) d’une force $\overrightarrow{\text{F}}$ au cours d’un déplacement élémentaire $\overrightarrow{\text{dl}}$ s’écrit dW($\overrightarrow{F}$) = $\overrightarrow{F}$.$\overrightarrow{dl}$. C’est un produit scalaire et le travail s’exprime en joule (J).

Remarque

On utilise le travail dW($\overrightarrow{\text{F}}$) pour montrer que la force ne travaille pas ou pour déterminer le travail de la force dans des cas plus complexes nécessitant le calcul d’une intégrale le long du parcours suivi.

B) Les forces dont le travail est nul

Lorsque le travail dW($\overrightarrow{\text{F}}$) d’une force $\overrightarrow{\text{F}}$ est nul au cours de tout déplacement élémentaire $\overrightarrow{\text{dl}}$ sur un parcours de A vers B, alors le travail de la force $\overrightarrow{\text{F}}$ est nul sur le parcours de A vers B sans que la force $\overrightarrow{\text{F}}$ soit constante. W_AB($\overrightarrow{\text{F}}$) = 0.

Exemples

• Le poids, lorsque le point de départ et le point d’arrivée sont à la même altitude.

• La réaction normale au plan.

• La force de tension d’un fil, lorsque le fil est inextensible.

• La force d’interaction gravitationnelle lors d’un mouvement circulaire.

C) Le travail d’une force constante

Le travail W_AB($\overrightarrow{\text{F}}$) d’une force constante $\overrightarrow{\text{F}}$, lorsque son point d’application se déplace d’un point A jusqu’à un point B, a pour expression :

Application

Calculer le travail de la force $\overrightarrow{\text{F}}$ (F = 100 N) sur le chemin AB = 10 m.

Solution

Le travail du poids et l’énergie potentielle de pesanteur

A) Le travail du poids

Le poids est une force constante, son travail entre deux points A et B dépend de la masse m de l’objet, de la valeur du champ de pesanteur g et de la différence d’altitude entre le point de départ A et le point d’arrivée B :

Le travail est indépendant du chemin suivi.

Exemple

On veut calculer le travail du poids d’une boule de masse m = 2,5 kg lors d’une chute de 20 m.

Le travail du poids s’exprime par W_AB($\overrightarrow{\text{P}}$) = m × g × (h_A – h_B), avec h_A – h_B = + 20 m, soit W_AB($\overrightarrow{\text{P}}$) = 2,5 × 10 × 20 = 500 J.

B) L’énergie potentielle de pesanteur

L’énergie potentielle de pesanteur résulte de l’interaction gravitationnelle entre le solide et la Terre. Cette énergie est liée à sa position par rapport à la Terre.

L’énergie potentielle de pesanteur est notée E_pp. Un solide de masse m, placé à une hauteur h par rapport à une référence, a une énergie potentielle de pesanteur :

Remarque

h, la hauteur, dépend de la référence fixée.

Application

Un cube de petite taille, de masse m = 10 kg, est placé en 2 endroits différents : en A, au niveau du sol ; en B, sur une chaise.

Le champ de pesanteur est uniforme et a une norme g = 10 N.kg^–1.

Déterminer la hauteur du cube dans les 2 cas, si on considère que le sol est la référence de hauteur h = 0 et que l’assise de la chaise est à 0,50 m du sol, puis l’énergie potentielle de pesanteur du cube dans les 2 cas.

Solution

L’altitude du centre d’inertie correspond à la hauteur où il est placé car la référence est le sol, donc :

– en A : h_A = 0 m soit E_ppA = m × g × h_A ainsi E_ppA = 10 × 10 × 0 = 0 J ;

– en B : h_B = 0,50 m soit E_ppB = m × g × h_B soit E_ppB = 10 × 10 × 0,50 = 50 J ;

C) La variation de l’énergie potentielle de pesanteur

La variation de l’énergie potentielle de pesanteur E_pp entre un point de départ A et un point d’arrivée B est la différence de l’énergie potentielle de pesanteur finale (en B) moins l’énergie potentielle de pesanteur initiale (en A), soit ΔE_pp = E_pp(B)– E_pp(A) = m × g × h_B – m × g × h_A = m × g × (h_B – h_A).

La variation de l’énergie potentielle est l’opposé du travail du poids :

ΔE_pp = –W_AB($\overrightarrow{P}$).

L’énergie mécanique

A) Définition

L’énergie mécanique d’un solide est son énergie macroscopique, c’est la somme de son énergie cinétique (de translation et de rotation) et de son énergie potentielle (de pesanteur et élastique) :

B) La conservation de l’énergie mécanique

Lorsque l’on frappe un ballon vers le haut, il a une trajectoire en cloche.

On considère un ballon de masse m = 450 g partant depuis un point O avec une vitesse initiale v₀ = 15 m.s^–1. Le point O est pris comme la référence de l’énergie potentielle, c’est-à-dire que O a une altitude nulle. Le mouvement du ballon s’effectue dans l’air sans frottement.

On peut filmer le mouvement du ballon et déterminer l’énergie cinétique, l’énergie potentielle et l’énergie mécanique en différentes positions de la trajectoire. On obtient un ensemble de courbes d’énergies en fonction du temps.

Lorsque le ballon monte, son énergie cinétique E_c diminue. Il ralentit et son énergie potentielle de pesanteur E_p augmente. De l’énergie cinétique est donc transformée en énergie potentielle de pesanteur.

Cet échange se réalise dans l’autre sens lors de la descente. L’énergie potentielle de pesanteur diminue car l’altitude du ballon diminue et en même temps, la vitesse du ballon augmente ainsi que son énergie cinétique.

La variation de l’énergie cinétique est l’opposé de la variation de l’énergie potentielle de pesanteur puisque l’énergie mécanique E_m, qui est la somme des 2, reste constante.

Il y a conservation de l’énergie mécanique du ballon au cours de ce mouvement : il n’y a pas de transformation d’énergie mécanique sous forme d’énergie interne ou de transfert thermique, c’est pour cela que l’énergie mécanique se conserve.

C) La non-conservation de l’énergie mécanique

L’énergie mécanique d’un solide ne se conserve pas en général, à cause de frottements. Il y a alors augmentation de l’énergie interne du solide, qui se traduit par une élévation de sa température ou un transfert thermique vers le milieu extérieur. La variation de l’énergie mécanique est alors égale au travail des forces de frottement : ΔE_m = W($\overrightarrow{\text{f}}$_frottement) < 0 : l’énergie mécanique diminue alors, ce qui entraîne une diminution de l’énergie cinétique et/ou de l’énergie potentielle du solide.

Exemple

On considère un objet glissant avec une force de frottement $\overrightarrow{\text{f }}$ le long d’une pente.

Les forces appliquées au mobile sont le poids $\overrightarrow{\text{P}}$, la réaction normale au plan ${\overrightarrow{\text{R}}}_{\text{n}}$et $\overrightarrow{\text{f}}$.

Si on emploie le théorème de l’énergie cinétique entre A et B :

E_c(B) – E_c(A) = W($\overrightarrow{\text{P}}$) + W($\overrightarrow{\text{f}}$) + W(${\overrightarrow{\text{R}}}_{\text{n}}$) or la réaction normale ne travaille pas donc E_c(B) – E_c(A) = W($\overrightarrow{\text{P}}$) + W($\overrightarrow{\text{f}}$). Or W($\overrightarrow{\text{P}}$) = –ΔE_pp = –(E_pp(B) – E_pp(A)).

Ainsi E_c(B) – E_c(A) = –(E_pp(B) – E_pp(A)) + W($\overrightarrow{\text{f }}$) soit (E_c(B) – E_pp(B)) – (E_c(A) + E_pp(A)) = W($\overrightarrow{\text{f}}$) < 0, ce qui revient à écrire que la différence d’énergie mécanique E_m(B) – E_m(A) = W($\overrightarrow{\text{f}}$) est négative.

Lorsqu’une force de frottement est présente, l’énergie mécanique du système diminue, sauf si elle est compensée par un apport d’énergie pour relancer le système.

L’énergie et la puissance disponibles

Un réservoir d’essence est une forme d’énergie disponible : ce n’est pas une forme macroscopique, comme l’énergie potentielle de pesanteur ou l’énergie cinétique.

Lors d’un tir parabolique, l’énergie cinétique donnée au ballon lui permet de gagner de l’altitude, donc de l’énergie potentielle de pesanteur. La puissance mise en œuvre au cours de ce déplacement est la puissance moyenne P_moy en watt (W) du poids pendant une durée Δt. C’est le rapport du travail effectué W($\overrightarrow{\text{P}}$) en joule (J) sur la durée Δt en seconde (s) : P_moy = $\frac{\text{W}\left(\overrightarrow{\text{P}}\right)}{\Delta \text{t}}$ .