Forces d'interaction gravitationnelle

La gravitation universelle a été découverte par Newton au XVII^e siècle. Le mouvement de la Lune autour de la Terre est la manifestation d’une action à distance appelée interaction gravitationnelle.

I Intensité des forces gravitationnelles

Deux corps A et B s’attirent en exerçant l’un sur l’autre des forces d’interaction gravitationnelle.

D’après le principe des actions réciproques, la force exercée par A sur B est opposée à la force exercée par B sur A : \overrightarrow{F_{B/A}}= - \overrightarrow{F_{A/B}}.

Ces forces ont la même intensité, proportionnelle à leurs masses mA et mB et inversement proportionnelle au carré de la distance d qui sépare les corps A et B :

F_{A/B}  = F_{B/A} = \dfrac{G \times m_A \times m_B}{d^2_{AB}}

avec : $F_{A/B}$ et $F_{B/A}$ en newtons (N) ; $m_A$ et $m_B$ en kilogrammes (kg) et $d$ en mètres (m).

G est la constante de gravitation universelle : $G= 6,67\times 10^{-11}$ N⋅m²⋅kg^-2.

Repère
À noter

Cette expression n’est valable que pour des objets « ponctuels » (dont la taille est petite devant la distance qui les sépare) ou des objets sphériques à répartition homogène de masse (c’est le cas des astres par exemple). G est une grandeur « universelle » car elle est constante dans tout l’Univers.

II Expression vectorielle des forces gravitationnelles

Exemple :

En choisissant un vecteur unitaire $\overrightarrow u$ dirigé de la Terre vers la Lune, on peut exprimer la force exercée sur la Terre vectoriellement : \overrightarrow{F_{L/T}}= G\times \dfrac{m_T \times m_L}{d^2}\overrightarrow u.

La force exercée sur la Lune étant dans l’autre sens : \overrightarrow{F_{T/L}}=-G\times \dfrac{m_T \times m_L}{d^2}\overrightarrow u..

Repère
À noter

Cette expression est généralisable à toute interaction gravitationnelle entre deux corps A et B

Méthode : Calculer l’intensité des forces d’interaction gravitationnelle

a. Calculer la valeur de la force exercée par la Terre sur la Lune. La comparer à la valeur de la force exercée par la Lune sur la Terre.

b. Calculer la valeur de la force exercée par la Terre sur une pomme de masse 70 g proche du sol.

c. Que peut-on dire de la force d’attraction gravitationnelle entre deux pommes de 70 g séparées de 50 cm ?

Données :

• $M_{\text{Terre}}=5,98\times 10^{24}$ kg et $M_{\text{Lune}}= 7,35\times 10^{22}$ kg ;

• distance Terre-Lune : $d_{T/L}=3,84\times 10^8$ m ;

• rayon de la Terre : $RT=6\,380$ km.

Repère
Conseils

a. Utilisez la formule donnant l’intensité des forces d’interaction gravitationnelles sans oublier le carré de la distance au dénominateur de l’expression.

b. La distance d à prendre en compte est celle qui sépare les centres des objets : recherchez la donnée correspondante en faisant attention aux unités.

c. Attention aux unités : les masses sont en kg et les distances en m.

Solution

a. D’après la loi de la gravitation universelle :

$F_{T/L}= G\times \dfrac{m_T \times m_L}{d_{T/L}^2}$

${\phantom{F_{T/L}}= 6,67\times 10^{-11}\times \dfrac{5,98\times 10^{24}\times 7,35\times 10^{22}}{(3,84\times 10^8)^2}}$

${\phantom{F_{T/L}}= 1,99\times 10^{20}}$  N.

La force exercée par la Lune sur la Terre a la même valeur que la force exercée par la Terre sur la Lune : $F_{L/T}= F_{T/L}=1,99\times 10^{20}$ N.

b. La distance à prendre en compte pour le calcul est le rayon terrestre RT et il doit être exprimé en mètres : $6\,380$ km = $6\,380\,000$ m = 6,38 \times  10^{6} m.

$F_{T/P}= G\times \dfrac{m_T\times m_P}{d_{T/P}^2}$

${\phantom{F_{T/P}}=6,67\times 10^{-11}\times \dfrac{5,98\times 10^{24}\times 70\times 10^{-3}}{(6,38\times 10^6)^2}}$

${\phantom{F_{T/P}}=0,69}$ N.

c. Entre deux pommes séparées de 50 cm = 0,50 m (distance exprimée en m) ayant une masse de 70 g = 70 \times  10^{-3} kg (masse exprimée en kg)

$F_{P/P}=G\times \dfrac{m_P\times m_P}{d_{P/P}^2}$

${\phantom{F_{P/P}}=6,67\times 10^{-11}\times \dfrac{70\times 10^{-3}\times 70\times 10^{-3}}{(0,50)^2}}$

${\phantom{F_{P/P}}=1,3\times 10^{-12}}$ N.

Cette force est extrêmement petite comparée à $F_{T/P}$.

À noter

Les forces gravitationnelles se manifestent surtout lorsqu’un au moins des deux corps est massif (astre par exemple).