Forces d'interaction gravitationnelle

La gravitation universelle a été découverte par Newton au XVII^e siècle. Le mouvement de la Lune autour de la Terre est la manifestation d’une action à distance appelée interaction gravitationnelle.

I Intensité des forces gravitationnelles

Deux corps $\text{A}$ et $\text{B}$ s’attirent en exerçant l’un sur l’autre des forces d’interaction gravitationnelle.

D’après le principe des actions réciproques, la force exercée par $\text{A}$ sur $\text{B}$ est opposée à la force exercée par $\text{B}$ sur $\text{A}$ : $\overrightarrow{F}$B/A = − $\overrightarrow{F}$A/B.

Ces forces ont la même intensité, proportionnelle à leurs masses $m_{\text{A}}$ et $m_{\text{B}}$ et inversement proportionnelle au carré de la distance d qui sépare les corps A et B :

$\text{G}$ est la constante de gravitation universelle : $\text{G}=\mathrm{6,67}\times {10}^{-11}\text{N}\cdot {\text{m}}^{\text{2}}\cdot {\text{kg}}^{-\text{2}}$.

Repère
À noter

Cette expression n’est valable que pour des objets « ponctuels » (dont la taille est petite devant la distance qui les sépare) ou des objets sphériques à répartition homogène de masse (c’est le cas des astres par exemple). G est une grandeur « universelle » car elle est constante dans tout l’Univers.

II Expression vectorielle des forces gravitationnelles

Exemple :

En choisissant un vecteur unitaire $\overrightarrow{u}$ dirigé de la Terre vers la Lune, on peut exprimer la force exercée sur la Terre vectoriellement : ${\overrightarrow{F}}_{\text{L}/\text{T}}=\text{G}\times \frac{m_{\text{T}}\times m_{\text{L}}}{d^2}\overrightarrow{u}$.

La force exercée sur la Lune étant dans l’autre sens : ${\overrightarrow{F}}_{\text{T}/\text{L}}=-\text{G}\times \frac{m_{\text{T}}\times m_{\text{L}}}{d^2}\overrightarrow{u}$.

Repère
À noter

Cette expression est généralisable à toute interaction gravitationnelle entre deux corps A et B

MéthodeCalculer l’intensité des forces d’interaction gravitationnelle

a. Calculer la valeur de la force exercée par la Terre sur la Lune. La comparer à la valeur de la force exercée par la Lune sur la Terre.

b. Calculer la valeur de la force exercée par la Terre sur une pomme de masse 70 g proche du sol.

c. Que peut-on dire de la force d’attraction gravitationnelle entre deux pommes de 70 g séparées de 50 cm ?

Données : • $M_{\text{Terre}}=\mathrm{5,98}\times {10}^{24}\text{ kg}$ et $M_{\text{Lune}}=\mathrm{7,35}\times {10}^{22}\text{ kg}$ ;

• distance Terre-Lune : $d_{\text{T/L}}=\mathrm{3,84}\times {10}^8\text{m}$ ;

• rayon de la Terre : $R_{\text{T}}=6380\text{ km}$.

Repère
Conseils

a. Utilisez la formule donnant l’intensité des forces d’interaction gravitationnelles sans oublier le carré de la distance au dénominateur de l’expression.

b. La distance d à prendre en compte est celle qui sépare les centres des objets : recherchez la donnée correspondante en faisant attention aux unités.

c. Attention aux unités : les masses sont en kg et les distances en m.

Solution

a. D’après la loi de la gravitation universelle :

$F_{\text{T/L}}=\text{G}\times \frac{m_{\text{T}}\times m_{\text{L}}}{d_{\text{T/L}}{}^2}=\mathrm{6,67}\times {10}^{-11}\times \frac{\mathrm{5,98}\times {10}^{24}\times \mathrm{7,35}\times {10}^{22}}{{(\mathrm{3,84}\times {10}^8)}^2}=\mathrm{1,99}\times {10}^{20}\text{N.}$

La force exercée par la Lune sur la Terre a la même valeur que la force exercée par la Terre sur la Lune : $F_{\text{L/T}}=F_{\text{T/L}}=\mathrm{1,99}\times {10}^{20}\text{N}$.

b. La distance à prendre en compte pour le calcul est le rayon terrestre $R_{\text{T}}$ et il doit être exprimé en mètres : 6 380 km = 6 380 000 m = 6,38 × 10⁶ m.

$F_{\text{T/P}}=\text{G}\times \frac{m_{\text{T}}\times m_{\text{P}}}{d_{\text{T/P}}{}^2}=\mathrm{6,67}\times {10}^{-11}\times \frac{\mathrm{5,98}\times {10}^{24}\times 70\times {10}^{-3}}{{(\mathrm{6,38}\times {10}^6)}^2}=\mathrm{0,69}\text{ N}.$

c. Entre deux pommes séparées de 50 cm = 0,50 m (distance exprimée en m) ayant une masse de 70 g = 70 × 10^–3 kg (masse exprimée en kg)

$F_{\text{P/P}}=\text{G}\times \frac{m_{\text{P}}\times m_{\text{P}}}{d_{\text{P/P}}{}^2}=\mathrm{6,67}\times {10}^{-11}\times \frac{70\times {10}^{-3}\times 70\times {10}^{-3}}{{\left(\mathrm{0,50}\right)}^2}=\mathrm{1,3}\times {10}^{-12}\text{ N}$.

Cette force est extrêmement petite comparée à $F_{\text{T/P}}$.

À noter

Les forces gravitationnelles se manifestent surtout lorsqu’un au moins des deux corps est massif (astre par exemple).