Fonction racine carrée

La fonction racine carrée est définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ car on ne peut calculer la racine carrée d’un nombre qu’à la condition qu’il soit positif. Sa courbe se trouve donc dans le premier quadrant.

I Définition et propriétés

La fonction racine carrée est la fonction définie sur [0 ; +∞[ par :

$f\left(x\right)=\sqrt{x}$

La fonction f est croissante sur [0 ; + ∞[.

En effet, pour tous réels a et b positifs et non tous les deux nuls :

$\sqrt{a}–\sqrt{b}=\frac{(\sqrt{a}–\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{{\left(\sqrt{a}\right)}^2–{\left(\sqrt{b}\right)}^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{a–b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$.

Donc $a<b\Rightarrow \frac{a–b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}<0\Rightarrow f\left(a\right)<f\left(b\right)$, car $\sqrt{a}+\sqrt{b}>0$.

La question de la parité ne se pose pas pour la fonction racine carrée car son ensemble de définition n’est pas symétrique par rapport à 0. Elle n’est donc ni paire ni impaire.

II Représentation graphique

Le tableau de valeur ci-dessous suggère qu’au voisinage de 0 les ordonnées des points de la courbes croissent très rapidement. C’est pourquoi, au voisinage de l’origine du repère, la courbe « part » très vite.

Remarque : Les valeurs de $y=\sqrt{x}$ sont arrondies.

Montrer la symétrie des courbes y = x² et $y=\sqrt{x}$

Le point P a pour abscisse x et appartient à la parabole et le point A à la droite Δ d’équation y = x. Le point R a pour abscisse xA et appartient à la courbe d’équation $y=\sqrt{x}$. Le point I est l’intersection de [RP] et de Δ.

1. Exprimer les coordonnées de A et de R en fonction de x.

2. Calculer AP et AR et en déduire que A appartient à la médiatrice de [RP].

3. Montrer que le milieu de [RP] appartient à Δ et en déduire que P et R sont symétriques a rapport à Δ.

Repère
ConseilS

1. Remarquez que xA = yA.

2. Utilisez les formules de calcul de distances.

3. Calculez les coordonnées du milieu de [RP].

solution

1. Le point P a pour coordonnées (x ; x²). D’après la figure, yA = yP = x², donc xA = x² car Δ a pour équation y = x. D’où les coordonnées A(x2 ; x2).

De plus, xR = xA = x² et $y_{\text{R}}=\sqrt{x_{\text{R}}}=\sqrt{x^2}=x$ car x ⩾ 0. D’où R(x2 ; x).

2. On a AP² = (x – xA)² = (x – x²)² et AR² = (yR – yA)² = (x – x²)². Il en résulte que AR = AP donc que A appartient à la médiatrice de [RP].

3. Soit J le milieu de [RP]. On a $x_{\text{J}}=\frac{x_{\text{P}}+x_{\text{R}}}{2}=\frac{x+x^2}{2}$ et . Donc yJ = xJ, ce qui prouve que J ∈ Δ. De plus, J ∈ Δ ∙ (RP) donc J = I. La droite (AI) est donc la médiatrice de [RP]. Il en résulte que les points P et R sont symétriques par rapport à Δ. Cela prouve la symétrie des deux courbes par rapport à Δ.