Fonction exponentielle de base, fonction logarithme népérien

I. Fonction exponentielle de base $e$

Définition et notation

Propriété

Il existe une valeur unique de $a$ pour laquelle la courbe représentative de la fonction $x \mapsto a^x$ a, au point d'abscisse $0$, une tangente de coefficient directeur égal à $1$.

L'étude des fonctions $x \mapsto a^x$ figure au paragraphe $\mathbf{1}$ du chapitre $2$.

Cette valeur de $a$ est notée $e$, $e \approx 2,72$.

Définition

La fonction $x \mapsto e^x$ est la fonction exponentielle de base $e$, souvent appelée plus simplement fonction exponentielle.

À l'aide d'une calculatrice, découvrez $e^{1,32}$, $e^{-0,7}$.

2. Relations fonctionnelles

La fonction $x \mapsto e^x$ possède les propriétés des fonctions $x \mapsto a^x$.

Pour tous nombres réels $a$ et $b$ :

$e^{a+b} = e^a \times e^b$ ;

$e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}$ et $e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}$ ;

Pour tout nombre réel $a$ et tout nombre entier relatif $n$ :

$e^{an} = (e^a)^n$.

3. Dérivation

Théorème

La fonction exponentielle $f : x \mapsto e^x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et a pour fonction dérivée $f' : x \mapsto e^x$.

La fonction exponentielle (de base $e$) est égale à sa fonction dérivée.

On en déduit la propriété suivante.

Propriété

Soit $a$ et $b$ des constantes réelles.

La fonction $g : x \mapsto e^{ax+b}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $g'(x) = a e^{ax+b}$ pour tout $x$ réel.

Exemples

• Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = e^{\frac{1}{2}x+1}$. Pour tout $x$ de $\mathbb{R}$, $f'(x) = \dfrac{1}{2} e^{\frac{1}{2}x+1}$.

• Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(t) = (-t+3)e^{-t}$.

Pour tout $t$ de $\mathbb{R}$ :

$f'(t) = -e^{-t} + (-t+3)(-e^{-t})$

$f'(t) = -1 - (-t+3)e^{-t} = t - 4 e^{-t}$

Un résultat de première : $(uv)' = u'v + uv'$

4. Limites en $-\infty$ et en $+\infty$

Limite en $+\infty$

En remplissant un tableau de valeurs à l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur, on constate que $e^x$ augmente très vite quand $x$ augmente (par exemple : $e^{10} \approx 22026,5$).

On démontre, et nous l'admettons, que $10^n$ étant choisi aussi grand que l'on veut, $e^x$ est supérieur à $10^n$ dès que $x$ est assez grand. Cette propriété s'énonce :

"la limite de $e^x$ quand $x$ tend vers $+\infty$ est égale à $+\infty$".

Notation

$\lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty$

Limite en $-\infty$

D'après la relation $e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}$, on a $e^{-10} \approx \dfrac{1}{22026,5} \approx 0,00005$. On constate que quand $x$ "tend vers $-\infty$", $e^x$ "tend vers zéro".

On démontre, et nous l'admettons, que $10^{-n}$ étant choisi aussi proche de $0$ que l'on veut, $e^x$ est compris entre $0$ et $10^{-n}$ dès que le nombre négatif $x$ est assez grand en valeur absolue. Cette propriété s'énonce : "la limite de $e^x$ quand $x$ tend vers $-\infty$ est égale à $0$".

Notation

$\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0$

Limites des fonctions monômes

Un théorème analogue concerne les fonctions monômes.

Théorème

Pour tout entier naturel non nul $n$,

$\lim\limits_{x \to +\infty} x^n = +\infty$.

$\lim\limits_{x \to -\infty} x^n = +\infty$ si $n$ est pair, $-\infty$ si $n$ est impair.

5. Courbe représentative

   Tableau de variation et courbe représentative

Croissance comparée en + ∞

Pour les grandes valeurs de $x$, l'exponentielle $e^x$ l'emporte sur toute fonction puissance $x^n$.

Théorème

Pour tout nombre entier naturel $n$,

$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} x^n e^{-x} = 0$.

II. Fonction logarithme népérien

1. Définition

Définition

Soit $a$ un nombre réel strictement positif.

Le logarithme népérien de $a$, noté $\ln (a)$ ou plus simplement $\ln a$, est le nombre $b$ tel que $e^b = a$.

Exemples

• $e^0 = 1$, donc $\ln 1 = 0$.

• $e^1 = e$, donc $\ln e = 1$.

À retenir

La fonction logarithme népérien est la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par : $x \mapsto y = \ln x$ avec $x = e^y$.

Exemples

La touche de la calculatrice, ou la fonction LN() d’un tableur permettent d’obtenir la valeur numérique de ln(x) pour tout x > 0 avec une précision suffisante.

Par exemple : ln 2 ≈ 0,693 ; ln 3 ≈ 1,098…

2) Propriétés algébriques

Le logarithme népérien possède les mêmes propriétés algébriques que le logarithme décimal.

Propriétés

Pour tous nombres réels strictement positifs $a$ et $b$, pour tout entier naturel $n$ et pour tout réel $x$ :

$\ln (a \times b) = \ln a + \ln b$
$\ln (1/a) = -\ln a$
$\ln (a/b) = \ln a - \ln b$
$\ln (a^n) = n \ln a$
$\ln (\sqrt{a}) = \frac{1}{2} \ln a$
$\ln (a^x) = x \ln a$

3) Lien avec le logarithme décimal

Propriété

Pour tout nombre réel strictement positif $x$ :

$\log x = \frac{\ln x}{\ln 10}$

4) Variations et courbe représentative

Dérivée

Propriété

La fonction logarithme népérien $\ln$ est dérivable sur son intervalle de définition $]0, +\infty[$ et sa dérivée est donnée par :

$\ln'(x) = \frac{1}{x}$

Limites

Théorème

$\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$
$\lim\limits_{x \to 0} \ln x = -\infty$
$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$

Tableau de variation et courbe représentative

Propriété

4) Variations et courbe représentative (suite)

La fonction logarithme népérien $\ln$ est strictement croissante sur son intervalle de définition $]0, +\infty[$.

Conséquences

À retenir

Pour tous nombres réels strictement positifs $a$ et $b$ :
$a < b$ si et seulement si $\ln a < \ln b$
$a = b$ si et seulement si $\ln a = \ln b$

Pour tout nombre réel strictement positif $a$ :

• Si $0 < a < 1$, alors $\ln a < 0$

• Si $a > 1$, alors $\ln a > 0$