Événements incompatibles, éléments contraires

Différentes méthodes permettent de calculer la probabilité d’événements.

I) Leçon

1) Probabilité d’événements incompatibles

Deux événements sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se produire simultanément.

Exemple : Les événements « Obtenir le 2 » et « Obtenir le 3 » quand on lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6 sont des événements incompatibles. En revanche, les événements « Obtenir un multiple de 3 » et « Obtenir un multiple de 2 » ne sont pas des événements incompatibles. Ils peuvent en effet se produire en même temps si on tire le 6.

Événement « A ou B » : si A et B sont deux événements, l’événement « A ou B » est l’événement qui se réalise uniquement si A se réalise ou si B se réalise. On dit que c’est la réunion de A et B.

Exemple : Dans l’expérience « On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées 1 à 6 », soit A l’événement « Tirer un nombre pair » et B « Tirer un multiple de 3 ». L’événement « A ou B » est l’événement « Tirer un nombre pair ou un multiple de 3 », c’est-à-dire « Tirer le 2, le 3, le 4, le 6 ».

Propriété : si A et B sont incompatibles alors p(A ou B) = p(A) + p(B). Cette propriété permet de calculer la probabilité de certains événements.

Exemple : Dans une classe de CM2 de 27 élèves, 5 élèves ont 11 ans, 3 ont 9 ans et le reste a 10 ans. On tire un élève au hasard et on s’intéresse à son âge. Soit A l’événement « L’élève a 10 ans » et B « L’élève a 9 ans ». Quelle est la probabilité que l’élève ait 9 ans ou 10 ans ?
Les événements A et B sont incompatibles. En effet, un élève ne peut pas avoir en même temps 9 ans et 10 ans.

Donc p(« L'élève a 9 ans ou 10 ans ») = P (A ou B) = p(A) + P(B) = $\frac{3}{27} + \frac{19}{27} = \frac{22}{27}$.

Propriété : pour toute expérience aléatoire, la somme des probabilités de l’ensemble des résultats est égale à 1.

Justification : l’événement « Obtenir l’un des résultats d’une expérience aléatoire » est un événement certain, donc sa probabilité est égale à 1. De plus, les résultats sont des événements 2 à 2 incompatibles. Cette propriété permet de calculer la probabilité de certains événements.

Exemple : Dans un sac, il y a des boules rouges, des boules noires et des boules vertes. On sait que la probabilité de tirer une boule rouge est égale à $\frac{2}{3}$, celle de tirer une boule noire est égale à $\frac{1}{12}$. Quelle est la probabilité de tirer une boule verte ?

Si on considère la couleur de la boule tirée, il y a trois résultats possibles : la boule est rouge, la boule est noire, la boule est verte. D’après la propriété ci-dessus, la somme des probabilités de chacun de ces résultats est égale à 1.

Donc p(Tirer une boule verte) = 1 − [p(Tirer une boule rouge) + p(Tirer une boule noire)]

Donc p(Tirer une boule verte) $= 1 -$($\frac{2}{3} + \frac{1}{12}$)$= 1 - \frac{9}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.

2) Probabilité d’événements contraires

Événement contraire : un événement est le contraire d’un événement A s’il se réalise uniquement quand A ne se réalise pas. On le note $\overline{A}$.

Propriété : $p(\overline{A}) = 1 − p(A)$.

Justification : l’événement « $A$ ou $\overline{A}$ » est l’événement certain donc $P(A ou \overline{A} ) = 1$. De plus, les événements $A$ et $\overline{A}$ sont incompatibles donc $p(A ou \overline{A}) = p(A) + p(\overline{A})$ donc $p(A) + p(\overline{A}) = 1$. Cette propriété permet de calculer les probabilités de certains événements.

Exemple : On lance un dé pipé à 6 faces numérotées 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 3 et 4. Quelle est la probabilité de l’événement A « Obtenir un nombre supérieur à 1 » ?

L'événement contraire de cet événement est $\overline{A}$ : « Obtenir 1 ».

$p(\overline{A}) = \frac{2}{6}$ donc $p(A) = 1 - \frac{2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

II) Ce qu'il faut savoir faire

➢ Calculer la probabilité d’un événement en utilisant la propriété des événements incompatibles et contraires

➢ Calculer la probabilité d’un événement dans le cas d’une expérience à double épreuve

Exemple : un sac contient cinq boules ; deux boules sont numérotées 1, deux sont numérotées 2 et une est numérotée 3. On tire une 1^re boule au hasard, on note son numéro et on la remet dans le sac. On tire une 2^e boule au hasard et on note son numéro. On additionne les deux numéros obtenus. Quelle est la probabilité d’obtenir un résultat inférieur ou égal à 4 ?

III) Je m'entraîne

1. On lance deux dés dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On note le plus grand numéro obtenu ou le numéro obtenu en cas d’égalité. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair ?

2. On lance simultanément deux dés numérotés de 1 à 6 et on additionne les nombres obtenus. Quelle est la probabilité d’obtenir une somme strictement supérieure à 2 ?