Événements indépendants, fréquences

Deux nouvelles méthodes abordées dans cette fiche complètent les méthodes précédemment étudiées.

I) La leçon

1) Événements indépendants

Deux événements d’une expérience aléatoire sont indépendants si les résultats de l’un n’ont aucune influence sur ceux de l’autre.

Exemple : On considère l’expérience qui consiste à tirer une 1re boule d’un sac contenant sept boules rouges et deux boules vertes puis à remettre cette boule dans le sac et enfin à tirer à nouveau une boule (on parle de tirage avec remise). Les deux événements « Tirer une boule rouge au 1er tirage » et « Tirer une boule rouge au 2d tirage » sont indépendants, car le fait de tirer une boule rouge au 1er tirage n’a aucune incidence sur le tirage de la 2de boule puisque la 1re boule est remise.
Maintenant, si on ne remet pas la 1re boule tirée dans le sac, alors les événements « Tirer une boule rouge au 1er tirage » et « Tirer une boule rouge au 2d tirage » ne sont pas des événements indépendants. En effet, le fait de tirer une boule rouge au 1er tirage diminue la probabilité d’en tirer une au 2d tirage puisqu’il y aura une boule rouge de moins.

Événement « A et B » : l’événement « A et B » se réalise uniquement lorsque A et B se réalisent. On dit que « A et B » est l’intersection des événements A et B.

Exemple : Dans l’expérience « On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées 1 à 6 », soit A l’événement « Tirer un nombre pair » et B « Tirer un multiple de 3 ». L’événement « A et B » est l’événement « Tirer un nombre pair et un multiple de 3 » c’est-à-dire « Tirer le 6 ».

Propriété : si A et B sont deux événements indépendants, alors $\text{p (A et B)=P(A)}\times\text{p(B)}$.

Exemple : Dans le cas du 1er exemple « Tirage avec remise », $\text{p}$ (Tirer deux boules rouges) $\text{=p}$ (« Tirer une boule rouge au 1er tirage » et « Tirer une boule rouge au 2d tirage »). Or les événements « Tirer une boule rouge au 1er tirage » et « Tirer une boule rouge au 2d tirage » sont indépendants. Donc $\text{p}$ (Tirer deux boules rouges) $\text{=p}$ (Tirer une boule rouge au 2d tirage) $\times\text{p}$ (Tirer une boule rouge au 2d tirage) $=\frac{7}{9}\times\frac{7}{9}=\frac{49}{81}$.

2) Probabilité et fréquence

Si on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence de n’importe quel événement de cette expérience finit par se stabiliser autour d’un nombre qui est sa probabilité.

Exemple : Un sac contient trois boules rouges et deux boules noires. On tire une boule au hasard. Si on répète un grand nombre de fois cette expérience (par exemple 10 000 fois) et qu’on calcule la fréquence de l’événement « Obtenir une boule noire », on va trouver un nombre proche de $\frac{2}{5}$ (qui est la probabilité de tirer une boule noire). Cette propriété permet de trouver une valeur approchée de la probabilité de certains événements d’expériences aléatoires. C’est par exemple le cas si l’on veut déterminer la probabilité du tirage d’un numéro d’une face d’un dé truqué, donc d’un dé pour lequel il n’y a pas équiprobabilité entre l’apparition de chaque face du dé.

II) Ce qu'il faut savoir faire

Utiliser la propriété de la probabilité des événements indépendants pour calculer la probabilité d’un événement

Exemple : on tire, au hasard, une 1 carte d’un jeu de 32 cartes que l’on remet dans le jeu puis on en tire une 2de (tirage avec remise). Quelle est la probabilité de tirer deux as ?

Utiliser la fréquence d’événements pour calculer leur probabilité

III) Je m'entraine

1. À la kermesse d’une école, les enseignants ont mis en place le jeu suivant : pour gagner un lot, on fait tourner la roue ci-contre et, si on tombe sur un nombre pair (et seulement dans ce cas), on lance un dé numéroté de 1 à 6 et, si on obtient un multiple de 3, on gagne un lot. Quelle est la probabilité de gagner un lot ?

2. Dans un sac, il y a des boules rouges et vertes. On ne connait pas la composition du sac. Est-il possible de trouver la probabilité de tirer une boule rouge de ce sac ? Si oui, comment ?

3. On lance un dé à six faces numérotées de 1 à 6. On demande : « Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre multiple de 3 ? » Pour répondre à cette question, un élève effectue 100 lancers et constate que la fréquence de l’événement « Obtenir un nombre multiple de 3 » est égale à 0,45. Quelle est l’origine de cet écart entre ce résultat et la probabilité d’obtenir un nombre multiple de 3 ?