Probabilités − Généralités

Les probabilités sont une partie des mathématiques qui étudient des phénomènes caractérisés par le hasard. Pour cela, elles visent à évaluer la chance que de tels phénomènes ont de se produire.

I) Leçon

1. Expérience aléatoire

Une expérience est dite « aléatoire » si elle vérifie deux conditions :

• elle conduit à des résultats possibles qu’on est parfaitement capable de nommer ;
• on ne sait pas lequel de ces résultats va se produire quand on mène l’expérience car ce résultat dépend du hasard.

Exemple : Lancer un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et regarder le numéro qui apparait est une expérience aléatoire, car on connait l’ensemble des résultats possibles (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6) mais, pour un lancer, on ne sait pas quel numéro va apparaitre : cela dépend du hasard. En revanche, l’expérience qui consiste à faire passer un test à un élève et attribuer une note sur 10 à ce test n’est pas une expérience aléatoire. En effet, la note attribuée ne dépend pas du hasard.

2. Événement d’une expérience aléatoire

$\rightarrow$ Un événement d’une expérience aléatoire est un ensemble de résultats de cette expérience.
Exemple : Dans l’expérience « Lancer un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et regarder le numéro qui apparait », « Obtenir un nombre pair » est un événement. En effet, c’est l’ensemble des résultats « Obtenir le 2 », « Obtenir le 4 », « Obtenir le 6 ».

$\rightarrow$ Des événements particuliers :

• Un résultat peut être considéré comme un événement.
  Exemple : « Obtenir le 1 » quand on lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6 est un événement.
• Un événement certain est un événement qui est sûr de se produire.
  Exemple : « Obtenir le 1, le 2, le 3, le 4, le 5 ou le 6 » quand on lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6 est un événement certain.
• Un événement impossible est un événement qui ne peut pas produire.
  Exemple : « Obtenir le 7 » quand on lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à6 est un événement impossible.

3. Probabilité d’un événement

$\rightarrow$ Pour certaines expériences aléatoires, on peut exprimer par un nombre la « chance » qu’un événement a de se produire. Ce nombre est appelé probabilité de l’événement.

$\rightarrow$ Notation : si A est un événement d’une expérience aléatoire, on note p(A) la probabilité de l’événement A.

$\rightarrow$ Propriétés :

• la probabilité d’un événement est comprise entre 0 et 1 ;
• la probabilité d’un événement certain est égale à 1 ;
• la probabilité d’un événement impossible est égale à 0.

4. Probabilité d’un événement dans le cas de l’équiprobabilité des résultats

Propriété : quand les résultats d’une expérience aléatoire ont tous la même probabilité (on parle d’équiprobabilité des résultats), alors la probabilité d’un événement est égale au quotient : $\frac{\text{Nombre de résultats favorables à l’événement}}{\text{Nombre de résultats possibles}}$.
On appelle « résultat favorable à l’événement » un résultat qui fait partie de l’événement dont on cherche la probabilité.

II) Ce qu'il faut savoir faire

$\Rightarrow$ Calculer la probabilité d’un événement dans le cas de l’équiprobabilité des résultats
Exemple : on dispose d’un sac contenant des boules, non discernables, numérotées de 1 à 12. On tire une boule au hasard et on note son numéro. Quelle est la probabilité d’obtenir un multiple de 4 ?

III) Je m'entraîne

Un enseignant dispose de figures géométriques en plastique. Il a 10 triangles rouges et 7 verts, il a 5 carrés rouges et 7 verts et il a 3 disques verts. Un élève tire une figure au hasard. Calculer la probabilité d’obtenir une figure rouge ?
Calculer la probabilité d’obtenir un polygone.