Équations réduites de droites

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On peut décrire et étudier les droites usuelles, tracées à la règle, avec des équations. Si elles sont tracées dans un repère, elles ont un lien avec les fonctions affines.

I Introduction

Une fonction affine (de la forme x mx + p) a pour représentation graphique une droite constituée de tous les points de coordonnées (x ; mx + p).

Au lieu de dire « la représentation graphique de la fonction x mx + p », on dira : « la droite d’équation y = mx + p ».

Exemple : La droite d’équation y = 2x + 3 est constituée de tous les points de coordonnées (x ; 2x + 3).

II Caractérisation des droites

1 Cas général

Théorème

Repère
À noter

L’équation d’une droite parallèle à l’axe des ordonnées n’est pas de la forme y = mx + p et ne représente pas une fonction affine.

1. Toute droite du plan non parallèle à l’axe des ordonnées a pour équation y = mx + p, où m et p sont deux constantes données.

2. Toute droite parallèle à l’axe des ordonnées a pour équation x = c c est une constante donnée.

04539_C11_01-02

Exemple : On a tracé ci-dessous la droite d’équation y = 2x + 3 (à gauche) et la droite d’équation x = 2 (à droite).

La droite d’équation y = mx + p contient le point de coordonnées (0 ; p). Le nombre p se nomme l’ordonnée à l’origine de la droite. Le nombre m s’appelle le coefficient directeur (ou la pente) de la droite.

2 Cas particuliers

Les droites parallèles à l’axe des abscisses ont pour équation y = p.

Les droites passant par l’origine du repère ont pour équation y = mx. Elles représentent des fonctions linéaires (de la forme x mx).

Méthode

Tracer et interpréter la droite représentant une fonction affine

On considère la fonction affine f définie par f(x) = 2x + 3.

1. 
a. Déterminer quatre points appartenant à la droite d’équation y = 2x + 3 dont les abscisses sont 0, –1, –1,5 et 10. Présenter les résultats sous la forme d’un tableau.

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b. Tracer la droite dans un repère orthonormé (O, I, J).

2. Déterminer le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de la droite.

3.
a. Un point de la droite a pour ordonnée –100. Quelle est son abscisse ?


b. Déterminer graphiquement l’antécédent de –1 par f.

Repère
Conseils 

1. Pour déterminer les ordonnées des quatre points, calculez f(0), f(–1), f(–1,5) et f(10).

3.
a. Résolvez l’équation 2x + 3 = –100.


b. Repérez le point de la droite qui a pour ordonnée –1, puis trouvez graphiquement son abscisse.

solution

1. 
a.


b. Plaçons les points A(0 ; 3)et B(–1 ; 1).

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La droite cherchée est la droite (AB).

2. Comme f(x) = 2x + 3, le coefficient directeur de la droite est 2 et son ordonnée à l’origine est 3.

3.
a. 2x+3=100x=1032=51,5.

L’abscisse du point qui a pour ordonnée –100 est donc –51,5.


b. L’antécédent de –1 par f est –2 car le point (–2 ; –1) appartient à la droite.

Autrement dit, f(–2) = –1.

À noter

Dans l’égalité y = f(x), y est l’image de x et x est l’antécédent de y.