Équations du premier degré à une inconnue - 2nde Mathématiques

Les équations auxquelles on s’intéresse dans cette fiche peuvent toutes se ramener à une équation du type : ax = b, où x est l’inconnue et a ≠ 0.

I Principes de résolution

1 Principe de développement

Ce principe s’utilise quand l’équation comporte des parenthèses : il consiste à commencer par développer en supprimant les parenthèses avant d’appliquer le principe d’équilibre.

Exemple : 8x – 2 = 3(x + 7) ⇔ 8x – 2 = 3x + 21

Repère
À noter

Le symbole ⇔ signifie « équivaut à ».

2 Principe d’équilibre

Le principe d’équilibre doit concourir à un but unique : obtenir une équation de la forme ax = b équivalente à l’équation de départ.

Lorsque l’on additionne ou soustrait le même nombre aux deux membres d’une équation, on obtient une équation qui lui est équivalente.

De même, lorsque l’on multiplie ou divise les deux membres d’une équation par le même nombre différent de 0, on obtient une équation équivalente.

On ne change donc pas l’équilibre de l’égalité en effectuant la même opération des deux côtés du signe d’égalité.

Exemple : On poursuit la résolution de l’équation de l’exemple précédent.

On a : 8x – 2 = 3x + 21 ⇔ 8x – 2 + 2 = 3x + 21 + 2 (on additionne 2 aux deux membres de l’équation).

Après calculs : 8x – 2 = 3x + 21 ⇔ 8x = 3x + 23.

En outre : 8x = 3x + 23 ⇔ 8x – 3x = 3x – 3x + 23 ⇔ 5x = 23 (principe d’équilibre), donc : $8x–2=3(x+7)\iff 5x=23\iff \frac{5x}{5}=\frac{23}{5}\iff x=\frac{23}{5}$ (principe d’équilibre).

Finalement, la solution de l’équation 8x – 2 = 3(x + 7) est $\frac{23}{5}$.

II Trucs et astuces

Si des expressions en x figurent au dénominateur, on utilise le produit en croix.

Exemple : Si x ≠ 0 et x ≠ –1, alors $\frac{8}{x+1}=–\frac{3}{x}$ ⇔ 8x = –3(x + 1).

S’il y a des fractions dans les membres des équations, il suffit de chasser les dénominateurs pour se ramener à des équations à coefficients entiers.

Exemple : $\frac{2}{3}x+1=\frac{1}{4}\iff 12\times \left(\frac{2}{3}x+1\right)=12\times \frac{1}{4}$ $\iff 8x+12=3$

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Résoudre un problème du premier degré

On considère le rectangle ABCD tel que AD = 12 cm et AB = 5 cm, et un point M sur le segment [AB].

Est-il possible de placer M pour que l’aire du triangle ADM soit égale à chacune des aires suivantes ?

a. 24 cm²

b. 30 cm²

c. 33 cm²

Repère
Conseils

Pour résoudre ce problème, on traduit la question à l’aide d’une équation. On calcule l’aire du triangle ADM (qui est rectangle en A) et on s’aperçoit qu’il est naturel de définir la longueur AM comme inconnue.

solution

L’aire du triangle ADM, en cm², est égale à $\frac{\text{AM}\times \text{AD}}{2}$, donc $\frac{\text{AM}\times \text{12}}{2}$ ou encore 6 × AM.

Il est naturel de choisir la longueur AM comme inconnue : x est donc la longueur AM, d’où AM = x. L’aire cherchée s’écrit alors 6x.

La question posée dans ce problème se traduit par conséquent de la façon suivante : les équations 6x = 24 ; 6x = 30 et 6x = 33 ont-elles des solutions ?

a. La solution de l’équation 6x = 24 est 4.

Donc, pour que l’aire du triangle ADM soit égale 24 cm², il faut placer M à 4 cm de A.

À noter

Le point M ne peut pas se situer en dehors du segment [AB].

Donc 0 < AM ⩽ 5.

C’est pourquoi 0 < x ⩽ 5.

b. La solution de l’équation 6x = 30 est 5.

Donc, pour que l’aire soit égale à 30 cm², il faut placer M à 5 cm de A, c’est-à-dire en B.

c. La solution de l’équation 6x = 33 est $\frac{33}{6}=\mathrm{5,5.}$L’équation 6x = 33 admet donc une solution. ­Cependant, cette solution ne fournit aucune position possible de M car on doit avoir x ⩽ 5. Il est donc impossible de trouver une place à M pour que l’aire du triangle ADM soit égale à 33 cm².