Eléments de rappel sur les ondes

Cette fiche est une synthèse des cours sur les ondes donnés en classe de seconde et de première.

Les fiches suivantes permettent de réviser la notion d'onde, si nécessaire :

$\bullet\quad$Émission, propagation et perception d'un son ;

$\bullet\quad$Les ondes mécaniques.

I. Onde sonore

$\bullet\quad$Une onde sonore peut être produite par tout objet qui vibre et qui communique cette vibration aux molécules d'air environnantes puis aux molécules d'air voisines, de proche en proche.

$\bullet\quad$Physiquement, le son est dû à la propagation d'une surpression de l'air, surpression qui peut être dans certaines conditions détectée par l'oreille humaine puis interprétée par le cerveau.

$\bullet\quad$La propagation du son nécessite donc un milieu matériel, comme l'air ou l'eau.

$\bullet\quad$Schéma de principe de propagation d'un signal sonore :

II. Relations caractérisant une onde

1. Caractéristiques d'une onde

Une onde peut être caractérisée par les grandeurs physiques suivantes :

$\bullet\quad$La longueur d'onde, en $m$, souvent notée $\lambda$ ;

$\bullet\quad$La période, en $s$, souvent notée $T$ ;

$\bullet\quad$La fréquence, en $Hz$ (hertz), souvent notée $f$ ou $\nu$ (lettre grecque "nu" ) ;

$\bullet\quad$La vitesse de propagation, en $m/s$, souvent notée $v$ (à ne pas confondre avec $\nu$).

2. Relations caractéristiques d'une onde

$\bullet\quad$Les caractéristiques d'une onde ($\lambda$, $T$, $f$, et $v$) ne sont pas indépendantes : elles vérifient, par définition, les relations suivantes :

$\quad\circ\quad$ $\boxed{\lambda = v \times T}$ ;

$\quad\circ\quad$ $\boxed{f = \dfrac{1}{T}}$ ;

$\quad\circ\quad$ou encore $\boxed{T = \dfrac{1}{f}}$.

$\bullet\quad$Remarque : toutes les autres relations entre ces paramètres peuvent être retrouvées avec un peu d'algèbre !

$\bullet\quad$Exemple :

$\circ\quad$ Une onde lumineuse de longueur d'onde $\lambda = 515 ~ nm$ se propage dans le vide (donc à environ $300~000~km/s$). Quelle est sa fréquence ?

$\quad\circ\quad$ Il suffit d'écrire : $\lambda = v \times T$ et $T = \dfrac{1}{f}$ pour retrouver la relation :

$\boxed{\lambda = \dfrac{v}{f}}$ ou encore $\boxed{f = \dfrac{v}{\lambda}}$

$\quad\circ\quad$Application numérique : ici, $v = 3,0.10^8 ~ m/s$ et $\lambda = 515 ~ nm$ donc

$f = \dfrac{v}{\lambda} = \dfrac{3,0.10^8}{515} = 5,8 10^{16} ~ Hz$.

III. Rappels sur le logarithme décimal

$\bullet\quad$En acoustique, on utilise beaucoup la fonction $\log(x)$ (logarithme décimal, à ne pas confondre avec $\ln(x)$, le logarithme naturel ou népérien).

$\bullet\quad$Il faut donc savoir "jongler" mathématiquement avec cette fonction et sa réciproque ($10^x$), en maîtrisant les formules qui suivent :

1.Propriétés des fonctions $x \mapsto \log(x)$ et $x \mapsto 10^x$

$\bullet\quad$$\forall (x,y) \in \mathbf{R}^2,\; x \gt 0 \; \text{et} \; y \gt 0$

$\quad\circ\quad$ $\boxed{\log( xy ) =\log (x) + \log(y)}$

$\quad\circ\quad$ $\boxed{\log\left( \dfrac{x}{y}\right ) =\log(x)- \log (y) \;}$

$\quad\circ\quad$ $\boxed{\log( x^n) = n\;\log(x) \; (\text{pour tout}\; n \in \mathbf{Q}) }$

en particulier : $\log(\sqrt{x}) = \log(x^{\frac{1}{2}}) = \dfrac{1}{2} \; \log(x)$

$\quad\circ\quad$ $\boxed{10^{(x+y)} = 10^x \times 10^y \; }$

$\quad\circ\quad$ $\boxed{10^{(x-y)} = \dfrac{10^x }{10^y} \; }$

en particulier : $\boxed{10^{-x} = \dfrac{1}{10^x} \; }$

$\bullet\quad$La fonction : $x \mapsto 10^x$ est la réciproque du logarithme décimal :

$\forall (x,y) \in \mathbf{R}^2,\; x \gt 0, \;\;$

$\quad\circ\quad$ $\boxed{ y = \log(x) \Leftrightarrow x = 10^y }$ ;

$\quad\circ\quad$$\circ\quad$ $\boxed{\log(10^x) = x }$ ;

$\quad\circ\quad$ $\boxed{ 10^{\log(x)} = x }$.

$\bullet\quad$Exemple :

$\quad\circ\quad$ Soit la formule $L = 10 \; \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$. Exprimer $I$ en fonction de $L$ et de $I_0$.

$\quad\circ\quad$ Solution :

$L = 10 \; \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)\Leftrightarrow \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right) = \dfrac{L}{10}$

$\phantom{L = 10 \; \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)}\Leftrightarrow \dfrac{I}{I_0} = 10^{(\frac{L}{10})}$

$\phantom{L = 10 \; \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)}\Leftrightarrow \boxed{I = I_0 \times 10^{(\frac{L}{10})}}$

IV. Approximations utiles

$\bullet\quad$Propriétés admises :

Pour $|x| \ll 1$ :

$\quad\circ\quad$ $\boxed{\dfrac{1}{1+x} \approx 1 - x}$

$\quad\circ\quad$ et $\boxed{\dfrac{1}{1-x} \approx 1 + x}$.

$\bullet\quad$Exemple :

$\quad\circ\quad$ Soit la formule : $f_R = \dfrac{f_E}{ 1 - \frac{v}{c} }$.

$\quad\circ\quad$ Si $\dfrac{v}{c} \ll 1$, alors $\dfrac{1}{ 1 - \frac{v}{c} } \approx 1 + \dfrac{v}{c}$ (en posant $x = \dfrac{v}{c}$)

$\quad\circ\quad$ On en déduit que : $f_R \approx ( 1 + \dfrac{v}{c} ) \; f_E$.

_{= Merci à krinn pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche =}