Lorsqu’on récite la table de multiplication par 4, par exemple, les résultats que l’on obtient sont des multiples de 4. Le nombre 4 est un diviseur de chacun des résultats trouvés.
I Diviseurs d’un entier naturel
Soit d et n deux entiers naturels, d est un diviseur de n si et seulement si le reste de la division euclidienne de n par d est égal à 0.
On peut aussi dire que d est un diviseur de n si et seulement si il existe un entier q (le quotient) tel que n = dq. On dit alors que d et q sont des diviseurs associés.
Exemple : 7 est un diviseur de 56 car 56 = 7 × 8 + 0. Ici, le quotient est 8. Et 7 et 8 sont des diviseurs associés de 56.
Mais 7 n’est pas un diviseur de 57 car 57 = 7 × 8 + 1.
Propriétés. Le nombre 1 est un diviseur de tout entier naturel n car n = 1 × n. Ici le quotient est n.
Tout entier naturel d est un diviseur de 0 car 0 = d × 0 (le quotient est 0).
Tout entier naturel n est un diviseur de lui-même car n = n × 1.
Un diviseur de n autre que 1 et n s’appelle un diviseur propre de n.
Un diviseur commun à deux entiers naturels est un diviseur de leur somme.
Démonstration : Supposons que d soit un diviseur de deux entiers n et n′. Alors il existe des entiers q et q′ tels que n = dq et n′ = dq′. Donc n + n′ = dq + dq′ = d(q + q′), soit n + n′ = dQ où Q = q + q′. Par conséquent d est bien un diviseur de n + n′.
Pour savoir si d est un diviseur de n on peut utiliser les critères de divisibilité.
II Multiples d’un entier naturel
Soit m et n deux entiers naturels. m est un multiple de n si et seulement si n est un diviseur de m.
Autrement dit, m est un multiple de n s’il existe un entier naturel q tel que m = nq.
Exemple : 48 est un multiple de 6 car 48 = 6 × 8 (ici, q = 8). 48 est donc aussi un multiple de 8.
Propriétés. Le nombre 1 est multiple de lui-même, et c’est tout, car 1 = 1 × 1.
Le nombre 0 est multiple de tout entier naturel n car 0 = n × 0.
Tout entier naturel est multiple de lui-même car n = n × 1.
La somme de deux multiples d’un entier naturel n est encore un multiple de n (voir la démonstration dans les méthodes).
Exemple : 63 et 49 sont des multiple de 7 (63 = 7 × 9 et 49 = 7 × 7) ; leur somme 122 est donc aussi un multiple de 7, on a 122 = 7 × (9 + 7) = 7 × 16.
Méthode
1 Démontrer que la somme de deux multiples de n est un multiple de n
1. On considère deux multiples de 3. Montrer que leur somme est encore un multiple de 3.
2. Le résultat précédent est-il encore valable pour des entiers naturels autres que 3 ? Justifier la réponse.
3. Soit n un entier naturel. Démontrer que la somme de deux multiples de n est un multiple de n.
Repère
Conseils
1. Appelez m et m′ les deux multiples de 3 et exprimez-les en fonction de 3, puis factorisez.
2. Utilisez le même procédé avec un autre entier naturel.
3. Généralisez les résultats précédents, en remplaçant 3 par n.
solution1. On sait qu’il existe deux entiers q et q′ tels que m = 3q et m′ = 3q′. Par conséquent, et après factorisation par 3, on obtient m + m′ = 3q + 3q′ = 3(q + q′). Il existe donc un entier naturel Q = q + q′ tel que m + m′ = 3Q.
2. On prouverait de même que la somme de deux multiples de 31 est un multiple de 31 : m = 31 × q et m′ = 31 × q′ donc m + m′ = 31(q + q′). Il en est de même pour tout entier naturel autre que 3 et 31.
3. En généralisant les démonstrations précédentes, on écrit m = nq et m = nq′ donc m + m′ = n(q + q′).
2 Utiliser un algorithme pour reconnaître des multiples
conseils
Il s’agit d’afficher des phrases concernant le lien qu’il y a entre les deux entiers a et b.
Dans l’algorithme ci-contre, l’utilisateur a donné des valeurs entières à a et à b. L’instruction a % b renvoie le reste de la division euclidienne de a par b.
Interpréter et compléter cet algorithme.
solutionL’algorithme permet de déterminer si a est un multiple de b. Algorithme complété :
