Développement et factorisation

Pour mener astucieusement un calcul littéral, il faut savoir ­développer ou, au contraire, factoriser, en utilisant parfois les identités remarquables.

I Développer et factoriser

1 Développer

Développer un produit de facteurs comportant des parenthèses ou des crochets, c’est le transformer en une somme de termes.

Pour cela, on applique la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et à la soustraction.

De même : (a + b)(c – d) = ac – ad + bc – bd

(a – b)(c + d) = ac + ad – bc – bd

(a – b)(c – d) = ac – ad – bc + bd

2 Factoriser

Factoriser une expression numérique ou littérale, c’est l’écrire sous la forme d’un produit de facteurs. Pour cela, il faut repérer l’expression commune qui sera mise en facteur.

Exemples :

• 5x – 7x. Le facteur commun est ici x. Donc 5x – 7x = (5 – 7)x= –2x.

• 3(x – 1) + x(x – 1). Le facteur commun est ici (x – 1).

Donc : 3(x – 1) + x(x – 1) = (3 + x)(x – 1).

II Identités remarquables

Les identités remarquables servent à factoriser ou développer.

1 Factoriser en cherchant un facteur commun

Factoriser :

a. (x + 3)(5 – x) + (2x + 1)(x + 3)
b. (1 – 2x)(7 – 9x) + (4x – 2)²

Repère
Conseils

a. Le facteur commun est évidemment (x + 3).

b. On remarque que 4x – 2 = 2(2x – 1) et 1 – 2x = –(2x – 1).

solution

a. $\begin{array}{c}(x+3)(5–x)+(2x+1)(x+3)=(x+3)\left[\right(5–x)+(2x+1)\\ =(x+3)(5–x+2x+1)\\ =(x+3)(x+6)\end{array}$

b. $\begin{array}{c}(1–2x)(7–9x)+{(4x–2)}^2=–(2x–1)(7–9x)+{\left[2\right(2x–1\left)\right]}^2\\ =–(2x–1)(7–9x)+4{(2x–1)}^2\\ =(2x–1)[–(7–9x)+4(2x–1\left)\right]\\ =(2x–1)(–7+9x+8x–4)\\ =(2x–1)(17x–11)\end{array}$

À noter

(4x – 2)² = 4(2x – 1)² et non 2(2x – 1)².

2 Factoriser à l’aide des identités ­remarquables

Factoriser :

a. 9x² + 12x + 4
b. (2 – x)² – 11

conseils

Retrouvez des identités remarquables écrites sous forme développée.

Pour l’expression b., rappelez-vous que, pour un nombre x > 0, $x={\left(\sqrt{x}\right)}^2$.

solution

a. 9x² + 12x + 4 = (3x)² + 2 × 3x × 2 + 2²

On peut donc poser a = 3x et b = 2 et utiliser a² + 2ab + b² = (a + b)².

La factorisation donne alors 9x² + 12x + 4 = (3x + 2)².

b. ${(2–x)}^2–11={(2–x)}^2–{\left(\sqrt{11}\right)}^2$

On peut donc poser a = 2 – x et $b=\sqrt{11}$ et utiliser a² – b² = (a – b)(a + b).

La factorisation donne alors${(2–x)}^2–11=(2–x–\sqrt{11})(2–x+\sqrt{11})$.

Repère
À noter

(–b)² = (–b) × (–b) = b² (nombre positif) et –b² = –(b × b) (nombre ­négatif).