Comparer deux réels

Étant donné deux réels a et b, comment savoir s’ils sont égaux, ou sinon, lequel des deux est le plus petit, c’est-à-dire comment les ­comparer ? Avec une calculatrice, certes, mais si ce sont des expressions littérales ?

I Comparer a et b

a⩽ b si et seulement si b – a est positif.

a⩽ b⇔ b – a⩾ 0

Lorsque les deux nombres sont de même signe on peut aussi utiliser leur quotient :

$0<a\le b\iff \frac{a}{b}\le 1 \text{et }a\le b<0\iff \frac{a}{b}\ge 1$.

Rappel : si a = b et b = c alors a = c !

II Transformations d’inégalités

Les nombres a + c et b + c d’une part, a – c et b – c d’autre part sont rangés dans le même ordre que a et b. Autrement dit :

a⩽ b⇔ a + c⩽ b + c et a⩽ b⇔ a – c⩽ b – c

Les produits ac et bc d’une part et les quotient $\frac{a}{\mathrm{c }}\text{et }\frac{b}{c}$ d’autre part sont rangés :

• dans le même ordre que a et b si c est strictement positif ;

si c> 0, a⩽ b⇔ ac⩽ bc et $a\le b\iff \frac{a}{c}\le \frac{b}{c}$

• dans l’ordre inverse de a et b si c est strictement négatif.

si c< 0, a⩽ b⇔ ac⩾ bc et $a\le b\iff \frac{a}{c}\ge \frac{b}{c}$

En ajoutant membre à membre deux inégalités de même sens on obtient une inégalité de même sens. Autrement dit : a⩽ b et c⩽ d ⇒a + c⩽ b + d.

En général on ne peut rien dire de semblable pour les trois autres opérations.

Mais si les quatre nombres sont strictement positifs (voir exercice 22) :

Méthode

Utiliser un algorithme pour déterminer le plus grand multiple de a inférieur ou égal à b

1. Quelle est la mission du programme suivant ?

2. Un utilisateur a lancé le programme et voici ce qui est affiché sur la console.

Interpréter l’affichage.

Repère
Conseils

1. Pour la commande int(input(…)), voir la fiche 3.

Dans la boucle while, quelle est la condition testée ? quelle est l’instruction réalisée à chaque passage ? Une fois sorti de la boucle, quelle est la valeur affichée ?

2. Que représente le nombre 123 455 793 pour 2 019 et 123 456 789 ?

solution

1. Le programme demande à l’utilisateur de saisir deux nombres qu’il nomme b et a. Puis, tant que k× a est inférieur ou égal à b (ligne 4) il ajoute 1 à k (ligne 5).

Dès que la valeur de k× a est supérieure à b, le programme affiche la valeur de k – 1 (qui n’est pas entre guillemets), suivie du caractère étoile (*), suivi de la valeur dea, suivie du caractère égal (=), etc.

La valeur (k – 1) × a est le plus grand multiple de a inférieur ou égal à b.

2. L’affichage montre que 123 455 793 est le plus grand multiple de 2 019 inférieur ou égal à 123 456 789.

À noter

123 455 793 est le 61 147^e multiple non nul de 2 019.