Champ gravitationnel et champ électrostatique

I. Le champ gravitationnel

1. Expression du champ gravitationnel

• Appliquons la loi de la gravitation, rappelée dans la fiche suivante :

  Interactions fondamentales et notion de champ

  $\circ\quad$ A un corps massif $B$ de masse $M$ (par exemple la Terre), immobile dans le référentiel d'étude ;

  $\circ\quad$ Et à un système $A$, de masse $m$, et situé à une distance $d$ de $B$.

• $A$ et $B$ sont assimilés à des points matériels (leur centre de masse), approximation valable si le corps massif $B$ est à symétrie sphérique.

• La force gravitationnelle exercée par $B$ sur $A$ vaut :

  $\boxed{\overrightarrow{F}_{B/A} = \mathcal{G} \times \dfrac{M \times \textcolor{blue}{m}}{d^{2}} \cdot \overrightarrow{u_{AB}}}$

  où $\overrightarrow{u_{AB}}$ désigne le vecteur directeur unitaire de (AB) dirigé de A vers B.

• Dans cette formule on remarque que seul $m$ dépend du système $A$. Réécrivons-la en isolant $m$ :

  $\boxed{\overrightarrow{F}_{B/A} = \textcolor{blue}{m} \times \mathcal{G} \times\dfrac{M }{d^{2}} \cdot \overrightarrow{u_{AB}}}$

• L'expression à droite de $m$ ne dépend que de la source de gravitation (le corps $B$) et de la position de $A$, ce qui permet de définir le champ gravitationnel du corps $B$ au point $A$, noté $\overrightarrow{g_{N}}$ :

  $\boxed{\overrightarrow{g_{N}}(A) = \mathcal{G} \times\dfrac{M}{d^2} \cdot \overrightarrow{u_{AB}}}$

  (le champ est noté $\overrightarrow{g_{N}}$, $N$ pour Newton, afin d'éviter toute confusion avec le champ de pesanteur $\overrightarrow{g}$)

• Le raisonnement étant valable en tout point $A$, on en déduit immédiatement la relation entre :

  $\circ\quad$ Le champ gravitationnel créé en tout point $A$ par un corps $B$ ;

  $\circ\quad$ Et la force de gravitation subie par un système de masse $m$ en ce point $A$.

  $\boxed{\overrightarrow{F}_{B/A} = m \cdot \overrightarrow{g_{N}}(A)}$

2. Propriétés du champ gravitationnel

• La figure suivante représente le champ gravitationnel produit par un corps massif B (un astre) dans son voisinage :

• L'allure du champ est indiquée par les lignes de champ qui sont des droites toutes issues du centre attracteur (B) et orientées vers lui : on parle de champ radial car les lignes de champ ressemblent à des rayons qui partiraient tous d'un même point.

• Pour déterminer l'influence gravitationnelle du corps $B$ en un point $A$, il suffit alors de tracer la ligne de champ, qui est ici la droite $(AB)$, puis de tracer le vecteur "champ gravitationnel en $A$", noté $\overrightarrow{g_{N}}$ sur la figure : ce vecteur est dirigé de $A$ vers $B$.

• La connaissance du champ gravitationnel en un point $A$ permet de déduire la force subie par tout point matériel de masse $m$ situé en $A$, grâce à la formule :

$\boxed{\overrightarrow{F}_{B/A} = m \cdot \overrightarrow{g_{N}}(A)}$

• Dans le cas de la gravitation, cette force est toujours colinéaire et de même sens que le vecteur champ en $A$ (car $m \gt 0$). On retrouve que la force gravitationnelle est toujours attractive.

• Remarques :

  $\circ\quad$ Le vecteur champ dépend du point $A$ : il faudrait le noter $\overrightarrow{g_{N}}(A)$ pour être plus rigoureux.

  $\circ\quad$ Les lignes de champ n'indiquent pas la norme du champ en un point : la norme est obtenue par le calcul et s'exprime en $\text{N/kg}$ ou encore en $\text{m/s}^2$. Elle décroît très vite avec la distance.

  $\circ\quad$ Dans le cas d'un astre (à symétrie sphérique) il faut distinguer le champ gravitationnel extérieur (représenté sur la figure) du champ gravitationnel intérieur qui est différent : c'est pourquoi les lignes de champs s'arrêtent ici à la surface.

  $\circ\quad$ Seuls les astres ont un champ gravitationnel suffisant pour influencer les corps matériels dans leur voisinage. Les objets à notre échelle (même de très grandes constructions) ont un champ gravitationnel totalement négligeable car leur masse est bien trop faible.

II. Le champ électrostatique

La force de Coulomb ayant une expression mathématique très proche de celle de Newton, nous allons procéder de la même manière pour déterminer le champ électrostatique créé par une charge dans l'espace environnant.

1. Expression du champ électrostatique

• Appliquons la loi de Coulomb, rappelée plus haut :

  $\circ\quad$ A une charge ponctuelle $Q$, immobile en $B$ dans le référentiel d'étude ;

  $\circ\quad$ Et à une charge ponctuelle $q$ située en $A$, à une distance $d$ de $B$.

• La force électrostatique exercée par $B$ sur $A$ vaut :

  $\boxed{\overrightarrow{F}_{B/A} = k \times\dfrac{Q \times \textcolor{red}{q}}{d^{2}} \cdot \overrightarrow{u_{BA}}}$

  où $\overrightarrow{u_{BA}}$ désigne le vecteur directeur unitaire de $(AB)$ dirigé de $B$ vers $A$.

• Dans cette formule on remarque que seul le terme $q$ dépend de la charge en $A$. Réécrivons-la en isolant $q$ :

  $\boxed{\overrightarrow{F}_{B/A} = \textcolor{red}{q} \times k \times \dfrac{Q}{d^{2}} \cdot \overrightarrow{u_{BA}}}$

• L'expression à droite de $q$ ne dépend que de la source (la charge $Q$) et de la position de $A$, ce qui permet de définir le champ électrostatique de la charge $Q$ au point $A$, noté $\overrightarrow{E}(A)$ :

  $\boxed{\overrightarrow{E} (A) = k \times \dfrac{Q}{d^2} \cdot \overrightarrow{u_{BA}}}$

• Le raisonnement étant valable en tout point $A$, on en déduit immédiatement la relation entre :

  $\circ\quad$ Le champ électrostatique créé en tout point $A$ par une charge $Q$ (en $B$) ;

  $\circ\quad$ Et la force de Coulomb subie par une charge $q$ en ce point $A$.

  $\boxed{\overrightarrow{F}_{B/A} = q \cdot \overrightarrow{E} (A)}$

2. Propriétés du champ électrostatique

• Le champ électrostatique ressemble au champ gravitationnel car il est aussi radial.

• Il dépend toutefois du signe de la charge $Q$ portée par la source.

$\textcolor{purple}{\text{a. Cas d'une source de charge positive (Q > 0)}}$

• La figure suivante représente le champ électrostatique créé par une charge ponctuelle $Q$ positive dans son voisinage.

• Les lignes de champ sont des droites toutes issues de la source (en $B$) et orientées vers l'extérieur.

• Pour déterminer l'influence de la source en un point $A$, il suffit alors de tracer la ligne de champ, qui est ici la droite $(AB)$, puis de tracer le vecteur "champ électrostatique en $A$", noté $\overrightarrow{E}$ : ce vecteur est dirigé de $B$ vers $A$.

$\textcolor{purple}{\text{b. Cas d'une source de charge négative (Q < 0)}}$

• La figure suivante représente le champ électrostatique créé par une charge ponctuelle $Q$ négative dans son voisinage.

• Les lignes de champ sont des droites toutes issues de la source (en $B$) et orientées vers elle.

• Pour déterminer l'influence de la source en un point $A$, il suffit alors de tracer la ligne de champ, qui est ici la droite $(AB)$, puis de tracer le vecteur "champ électrostatique en $A$", noté $\overrightarrow{E}$ : ce vecteur est dirigé de $A$ vers $B$.

• Remarque : les lignes de champ n'indiquent pas la norme du champ électrostatique en un point: la norme est obtenue par le calcul et s'exprime en $\text{N/C}$ ou encore en $\text{V/m}$. Elle décroit très vite avec la distance.

3. Détermination de la force électrostatique

• La connaissance du champ électrostatique $\overrightarrow{E}$ d'une charge immobile $Q$ située en $B$ permet de déduire la force subie par une charge $q$ située en un point $A$, grâce à la formule :

  $\boxed{\overrightarrow{F}_{B/A} = q \cdot \overrightarrow{E}(A)}$

• Cette force est colinéaire au vecteur champ en $A$ mais son sens va dépendre du signe de la charge $q$ en $A$ :

  $\circ\quad$ Une charge $q$ positive subit une force dans le sens du champ ;

  $\circ\quad$ Une charge $q$ négative subit une force dans le sens opposé à celui du champ.

4. Cas du condensateur plan

• Définition :

  $\circ\quad$ Un condensateur plan est un dispositif formé de deux plaques métalliques parallèles appelées armatures.

  $\circ\quad$ Chacune est reliée à une borne d'un générateur délivrant une tension électrique constante.

  $\circ\quad$ La plaque reliée à la borne $+$ perd alors des électrons et se retrouve ainsi chargée positivement sur toute sa surface.

  $\circ\quad$ L'autre plaque, au contraire, a un excès d'électrons et se charge donc négativement.

• Le condensateur plan est un dispositif très utile car il produit un champ électrostatique uniforme entre ses armatures, comme indiqué sur la figure suivante :

• La norme $E$ du champ électrostatique entre les armatures d'un condensateur plan vaut :

  $\boxed{E = \dfrac{U}{d}}$

  où $U$ est la tension du générateur et $d$ la distance entre les plaques.

• Remarques :

  $\circ\quad$ En réalité, le champ électrostatique n'est uniforme que si on se place "suffisamment loin des bords" des armatures.

  $\circ\quad$ Un TP de cartographie de ce champ électrostatique permettra d'illustrer ce cas :

  Vidéo cuve rhéographique

III. Un peu d'histoire : découverte des deux sortes d'électricité par Charles Dufay

• On frotte un tube de verre pour le rendre électrique et le tenant horizontalement, on laisse tomber dessus une parcelle de feuille d'or qui immédiatement après avoir touché le tube, est repoussée.

• Il en vint donc à la conclusion que le corps rendu électrique est repoussé par celui qui l'a rendu électrique.

• Cependant, une autre expérience le déconcerta. Il éleva une feuille d'or grâce au tube et approcha un morceau de gomme de copal frotté. La feuille d'or s'y attacha directement.

• Il répéta l'expérience avec un morceau d'ambre ou de cire où il eut le même résultat.

• Ces expériences lui firent penser qu'il y avait peut être deux genres d'électricités. Il les appela donc l'électricité résineuse et l'électricité vitrée.

• C'était en 1733...

_{= Merci à krinn / Skops pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche =}