Calculs probabilistes

Lors d’une expérience aléatoire, le calcul des probabilités des événements élémentaires se fait facilement. Grâce à ces probabi­lités, on peut ensuite calculer celles d’événements non élémentaires.

I Probabilité d’un événement

Repère
À noter

La somme des probabilités des événements élémentaires est égale à 1.

Théorème. La probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent.

Cas particulier important : Si tous les événements élémentaires sont équiprobables, la probabilité d’un événement A est égale au rapport :

$\frac{\text{nombre d’événements élémentaires dans }A}{\text{nombre total d’événements élémentaires}}$

Soit A et B deux événements.

L’intersection de A et de B est l’événement formé de tous les éléments ­communs à A et à B. On la note A ∩ B qui se lit « A inter B ».

La réunion de A et de B est l’événement formé de tous les éléments appartenant à A ou à B ou aux deux. On la note A ∪ B qui se lit « A union B ».

Le contraire de A est l’événement formé des éléments qui appartiennent à Ω mais pas à A. On le note $\overline{A}$ qui se lit « A barre ».

Dire que deux événements sont incompatibles signifie que A ∩ B = Ø.

II Formules de calcul

Théorème 1. Pour tout événement A et tout événement B d’un univers Ω :

P(A ∪ B) + P(A ∩ B) = P(A) + P(B)

Cas particulier important : Si les événements A et B sont incompatibles (et dans ce seul cas), alors :

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Théorème 2. Pour tout événement A :

Repère
À noter

L’événement Ω étant l’événement certain, il y a 100 % de chances qu’il se produise. Donc : P(Ω) = 1 et P(Ø) = 1 – P(Ω) = 0.

$P\left(A\right)+P\left(\overline{A}\right)=1$

Donc $P\left(\overline{A}\right)=1–P\left(A\right)$.

Calculer la probabilité d’un événement

Une urne contient 3 boules blanches (bb) et 7 boules noires (bn) ­identiques.

a. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité qu’elle soit noire ?

b. On tire une poignée de deux boules. Quelle est la probabilité qu’elles soient de couleurs différentes ?

Repère
ConseilS

a. Les événements élémentaires sont au nombre de 10. Attention, la réponse n’est pas $\frac{1}{2}$ sous prétexte que la boule tirée est soit noire soit blanche !

b. Examinez les deux raisonnements suivants : ils sont faux ! Pourquoi ?

Premier raisonnement faux. Trois tirages sont possibles : 1 bb et 1 bn ; 2 bb ou 2 bn. Il y a donc une chance sur trois pour chacun.

Deuxième raisonnement faux. Soit le tirage est bicolore, soit le tirage est unicolore. Il y a donc une chance sur deux pour chacun.

solution

a. On peut numéroter les bb de 1 à 3 (b1, b2, b3) et les bn de 4 à 10 (b4, b5, …, b10). L’événement « la boule tirée est noire » est donc {b4, b5, b6, b7, b8, b9, b10}. Cet événement est formé de 7 événements élémentaires. Sa probabilité est égale à $\frac{7}{10}$.

b.  L’univers des possibles est constitué de toutes les paires de boules possibles.

On compte :

9 paires contenant la b1 ((b1, b2), (b1, b3)…),

8 paires contenant la b2 et pas la b1 ((b2, b3), (b2, b4)…),

7 paires contenant la b3 et ni la b1 ni la b2, etc.,

1 paire contenant la b9 et aucune des précédentes ((b9, b10)).

Au total, on a 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45 événements élémentaires.

 7 événements élémentaires contiennent la b1 et une boule noire : (b1, b4), (b1, b5), (b1, b6),…, (b1, b10). De même, 7 événements élémentaires contiennent la b2 et une boule noire. 7 événements encore contiennent la b3 et une boule noire.

Au total, 21 événements élémentaires composent l’événement « les deux boules sont de couleurs différentes ».

 La probabilité cherchée est donc égale à $\frac{21}{45}$, soit à $\frac{7}{15}$.

À noter

Les affirmations énoncées dans les deux raisonnements des « Conseils » sont justes, mais ce sont les conclusions que l’on en tire qui sont fausses. En effet, les événements énoncés ne sont pas équiprobables.