Calcul littéral : multiplication, division et puissances

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Examinons les techniques de calcul littéral relatives à la multiplication et la division, liées aux calculs sur les exposants.

I. Multiplication et division

1)  Multiplication

Tout comme l’addition, la multiplication est une opération commutative et associative :
ab=baab=ba et a(bc)=(ab)ca(bc)=(ab)c
Pour multiplier des fractions entre elles, il suffit de multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

À noter
Rappelez-vous que a×cd=a1×cd=acda\times \dfrac cd=\dfrac a1\times \dfrac cd=\dfrac{ac}{d}
ab×cd=acbd\dfrac ab\times \dfrac cd=\dfrac{ac}{bd}

2)  Division

À noter
Un nombre et son inverse ont le même signe.
La division se définit par rapport à la multiplication. Diviser par yy revient à multiplier par son inverse (noté 1y\dfrac 1y).
Pour tous nombres x et y, avec y ≠ 0, on a : x÷y=x×1yx\div y=x\times \dfrac 1y

Remarque : 0 est le seul nombre à ne pas avoir d’inverse.
La division n’est pas associative.
En général on a : a÷(b÷c)≠(a÷b)÷ca\div (b\div c)\neq (a\div b)\div c .

II. Puissances

À noter :
Pour tout réel a ,a0=1 et a1=aa\,, a^0=1\text{ et } a^1=a.

On considère deux nombres aa et bb et deux entiers ­relatifs mm et nn. Alors, lorsque les opérations décrites ne conduisent pas à une division par 0 :
am×an=am+nanam=an−ma^m\times a^n=a^{m+n}\quad \dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}
(an)m=anm(ab)n=anbn(ab)n=anbn(a^n)^m=a^{nm}\quad (ab)^n=a^nb^n \quad \left(\dfrac ab\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}

Si aa est un nombre non nul et nn un entier relatif, on a : a−1=1a et a−n=1an=(1a)na^{-1}=\dfrac 1a \text{ et } a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}=\left(\dfrac 1a\right)^n

Méthodes

1) Simplifier des fractions littérales

Soit aa et bb deux réels non nuls et non opposés. Simplifier : A=1a+1b1+abA=\dfrac{\dfrac 1a+\dfrac 1b}{1+\dfrac ab}.
Conseils
Commencez par ­réduire le numérateur d’une part et le dénominateur d’autre part sous forme d’une seule fraction. Puis utilisez la multiplication par l’inverse.
Solution
A=1a+1b1+abA=\dfrac{\dfrac 1a+\dfrac 1b}{1+\dfrac ab}

A=b+aabb+abA=\dfrac{\dfrac{b+a}{ab}}{\dfrac{b+a}{b}}

A=b+aab×bb+a=1aA=\dfrac{b+a}{ab}\times \dfrac{b}{b+a}=\dfrac 1a

2) Simplifier une expression littérale

Soit a , b , ca\,,\,b\,,\,c trois réels non nuls vérifiant l’égalité ab+bc+ca=0ab+bc+ca=0.

a. Démontrer que bc+ba=−1\dfrac bc+\dfrac ba=-1, puis que ca+cb=−1\dfrac ca+\dfrac cb=-1 et ab+ac=−1\dfrac ab+\dfrac ac=-1.

b. En déduire la valeur de P=b+ca+c+ab+a+bcP=\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}+\dfrac{a+b}{c}.
Conseils
a. Divisez les deux membres de ab+bc+ca=0ab+bc+ca=0 par caca, puis par abab, puis par bcbc.
b. Commencez par décomposer chacune des trois fractions en deux.

Solution

a. En divisant ab+bc+ca=0ab+bc+ca=0 par acac, on trouve : ab+bc+caac=0ac\dfrac{ab+bc+ca}{ac}=\dfrac{0}{ac}

  ⟺  abac+bcac+caac=0\iff \dfrac{ab}{ac}+\dfrac{bc}{ac}+\dfrac{ca}{ac}=0
  ⟺  bc+ba+1=0\iff \dfrac bc+\dfrac ba+1=0
  ⟺  bc+ba=−1\iff \dfrac bc+\dfrac ba=-1

En divisant ab+bc+ca=0ab+bc+ca=0 par abab, on trouve de même ca+cb=−1\dfrac ca+\dfrac cb=-1.

En divisant ab+bc+ca=0ab+bc+ca=0 par bcbc, on trouve ab+ac=−1\dfrac ab+\dfrac ac=-1.

b. P=b+ca+c+ab+a+bcP=\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}+\dfrac{a+b}{c}

P=ba+ca+cb+ab+ac+bcP=\dfrac ba+\dfrac ca+\dfrac cb+\dfrac ab+\dfrac ac+\dfrac bc

P=bc+ba+cb+ca+ab+acP=\dfrac bc+\dfrac ba+\dfrac cb+\dfrac ca+\dfrac ab+\dfrac ac

Donc d’après les égalités trouvées à la question
P=−1−1−1=−3P=-1-1-1=-3.
Leçon précédente
Calcul littéral : addition et soustraction
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Développement et factorisation