Système de deux équations du premier degré à deux inconnues

Les problèmes de recherche de données numériques conduisent généralement à résoudre différents types d’équation : les équations du premier degré à une inconnue, les équations- produits mais aussi des systèmes d’équation lorsqu’il est nécessaire de choisir plusieurs inconnues.

I) La leçon

1) Système de deux équations à deux inconnues

Une équation du 1er degré (linéaire) à deux inconnues $x$ et $y$ est une équation équivalente à une équation de la forme $ax + by = c$ où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels.

Une solution d’une équation à deux inconnues $x$ et $y$ est un couple de nombres tel que, si on remplace $x$ par le premier nombre du couple et $y$ par le second, on obtient une égalité.

Exemple : Le couple (3 ; 2) est une solution de l’équation $5x − 4y = 7$ car $5×\textbf{3}−4×\textbf{2}=7$.

Un système linéaire de deux équations du premier degré à deux inconnues est un ensemble de deux équations à deux inconnues dont les solutions sont des couples qui sont solutions des deux équations. Il est équivalent à un système de la forme :

$\left\{ \begin{array}{ll} ax+by=c\\ a'x+b'y=c' \end{array} \right.$

où $a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$,$c'$ sont des nombres réels.

Résoudre un système de deux équations à deux inconnues consiste à trouver l’ensemble de ses solutions.

Exemple : Le couple (−1 ; 2) est solution du système

Un système de deux équations à deux inconnues peut avoir une seule solution, aucune solution ou une infinité de solutions (cf. Partie III) Je m'entraine)

2) Résoudre un système de deux équations à deux inconnues

Pour résoudre un système de deux équations à deux inconnues, en plus des règles sur les équations rappelées, on utilise les propriétés suivantes :

Quels que soient les nombres $a$, $b$, $c$ et $d$ :

– si $a=b$ alors $c×a=c×b$ ;

– si $a=b$ et $c=d$ alors $a+c=b+d$.

II) Ce qu'il faut savoir faire

Résoudre un système de deux équations à deux inconnues
Méthode 1 : par combinaison

Exemple : résoudre le système
$\left\{ \begin{array}{ll} 5(x-2)+2y=x+y-4\\ 7x+y=2x-3y+23 \end{array} \right.$

Méthode 2 : par substitution

Exemple : résoudre dans IR le système 

$\left\{ \begin{array}{ll} 3x+y=5\\ 2x+3y=1 \end{array} \right.$

Remarque : avec le système donné, les étapes 1 et 2 précédentes n’ont pas d’utilité.

III) Je m'entraine

Résoudre les systèmes suivants :

a. $\left\{ \begin{array}{ll} 3x-2y=-8\\ x+3y=8 \end{array} \right.$

b. $\left\{ \begin{array}{ll} 3(x-2)+2y=7(x-2)+10\\ 2x-7y+3=-16 \end{array} \right.$

c. $\left\{ \begin{array}{ll} 6x+4y=-2\\ 2x+y=-x-y+3 \end{array} \right.$