Factorisation, équation-produit

Pour résoudre les équations équivalentes à des équations-produits, il est nécessaire de savoir factoriser des expressions littérales.

I) La leçon

1) Factorisation

Factoriser consiste à transformer une somme en un produit. Pour cela, on utilise la propriété de la distributivité et les identités remarquables « lues » dans le sens inverse de celui qui permet de développer.

$ab + ac = a(b + c)$ et $ab − ac = a(b − c)$. On dit que « a » est un facteur commun.

$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$

$a^2−2ab+b^2=(a−b)^2$

$a^2−b^2=(a−b)(a+b)$

Il est essentiel de connaitre ces identités par cœur pour factoriser des expressions.

2) Équation du second degré − Équation-produit

On appelle équation du second degré à une inconnue toute équation équivalente à une équation de la forme $ax^2+bx+c=0$.

Au concours, les candidats doivent uniquement savoir résoudre des équations du second degré qui sont équivalentes à des équations de la forme $(ax + b) (cx + d) = 0$. Ces équations sont appelées équations-produits.

Pour les résoudre, on utilise la propriété ci-dessous : quels que soient les nombres $a$ et $b$, $ab=0$ équivaut à $a=0$ ou $b=0$.

Exemple : Résoudre $(2x − 3)(x + 5) = 0$.

D’après la propriété précédente : $2x − 3 = 0$ ou $x + 5 = 0$ donc $2x = 3$ ou $x = −5$.

Il y a donc deux solutions : $\frac{3}{2}$ et $−5$.

Cas particulier : les équations du type $x^2 = a$ :
– si $a < 0$, alors l’équation $x^2 = a$ n’a pas de solution ;

– si $a=0$, l’équation $x^2=a$ a une seule solution, $0$ ;

–si $a>0$, l’équation $x^2=a$ a deux solutions, $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.

Justification : quelle que soit la valeur attribuée à $x$, $x^2$ est toujours positif ou nul. Cette expression ne peut donc pas être égale à un nombre négatif. Donc l’équation $x^2 = a$ n’a pas de solution si $a < 0$.

Si $a>0$ alors $a=(\sqrt{a})^2$ donc $x^2=a$ est équivalente à $x^2=(\sqrt{a})^2$ donc $x^2-(\sqrt{a})^2=0$ donc $(x-\sqrt{a})(x+\sqrt{a})$ donc $x=\sqrt{a}$ ou $x=-\sqrt{a}$.

II) Ce qu'il faut savoir faire

Factoriser des expressions littérales

Exemples : factoriser $\text{A} = 16x^2+5x$ ; $\text{B} = 8x^2+x+7x^3$ ; $\text{C} = 16x^2-25$.

Résoudre une équation équivalente à une équation-produit

Exemple : résoudre les équations suivantes :
A. $x^2 − 7x + 5 = 2 − (3x^2 − 3)$ et B. $3x^2 − 7x = 7(6 − x)$.

III) Je m'entraine

1. Factoriser, si possible, de telle sorte que chaque facteur contienne la variable :
$\text{F}=7x+3x^2$ ; $\text{G}=2x+5$ ; $\text{H}=4x^2+3x^3+x$ ; $\text{I}=4x^2-9$ ; $\text{J}=16+8x+x^2$ ; $\text{K}=(2x-1)^2-(5-3x)^2$ ; $\text{L}=(2x-1)(x+6)-(2x-1)(3x+11)$

2. Résoudre les équations suivantes dans IR : a. $(3x-5)(7-3x)=0$ ; b. $4x^2-3x=0$ ; c. $16x^2-25=0$ ; d. $4x^2+9=12x$