Rechercher d'une quatrième proportionnelle

Les connaissances relatives aux suites proportionnelles sont utiles pour déterminer ce qu’on appelle une « quatrième proportionnelle ».

I) La leçon

1) Le principe

Dans de nombreuses situations où deux grandeurs $\text{G}_1$ et $\text{G}_2$ sont proportionnelles, on considère deux couples de valeurs associées ($a$ ; $b$) et ($c$ ; $d$) et on doit trouver l’une des valeurs (par exemple $d$) connaissant les trois autres.

Ce type de problème est appelé « problème de recherche d’une quatrième proportionnelle ».

Exemple : On verse de l’eau dans un récipient cylindrique et on note la hauteur atteinte en fonction du volume d’eau versé.

On a noté la hauteur atteinte pour 9 L (15 cm) et on cherche la hauteur atteinte pour 22,5 L.

Le récipient étant de forme cylindrique, on peut affirmer que la hauteur d’eau est proportionnelle au volume d’eau. Les deux suites (9 ; 22,5) et (15 ; ...) sont donc des suites de nombres proportionnelles et connaissant trois valeurs, on cherche la quatrième.

II) Ce qu'il faut savoir faire

Résoudre un problème de recherche de quatrième proportionnelle

Pour résoudre des problèmes du type de celui énoncé précédemment (récipient de forme cylindrique), différentes méthodes utilisent les connaissances sur les grandeurs et les suites proportionnelles. Deux grands types de méthodes peuvent être envisagés.

Le premier consiste à raisonner sur les grandeurs proportionnelles.
• Dans certains cas, on peut privilégier les propriétés de linéarité.

Exemple : pour 9 L d’eau, on a noté une hauteur de 15 cm. Quelle hauteur serait atteinte pour 36 L ? 36 L d’eau, c’est 4 fois 9 L d’eau.
→ La hauteur atteinte pour 36 L est donc égale à 4 fois 15 cm, donc à 60 cm.

• Dans d’autres cas, il est plus simple de « revenir à l’unité ».

Exemple : pour 9 L d’eau, on a noté une hauteur de 27 cm. Quelle hauteur serait atteinte pour 13 L ?
1L d'eau, c’est $\mathbf{\frac{1}{9}}$ de 9L d’eau.
→ La hauteur atteinte pour 1 L est donc égale à $\mathbf{\frac{1}{9}}$ de 27 cm, donc à 3 cm.
13 L d’eau, c’est 13 fois 1 L d’eau.
→ La hauteur atteinte pour 13 L est donc égale à 13 fois 3 cm, donc à 39 cm.

Le second type de méthodes consiste établir un tableau de proportionnalité et à utiliser l’une au l’autre des méthodes qui permettent de compléter des suites de nombres proprortionnelles.

Exemple :  pour 8 L d’eau, on a noté une hauteur de 12 cm. Quelle hauteur serait atteinte pour 17 L ?

III) Je m'entraine

1. En 15 tours de pédale, Jean parcourt une distance de 96 m.
Quelle distance parcourt-il en faisant :
a. 105 tours de pédale ?
b. 70 tours de pédale ?
c. Combien doit-il faire de tours de pédale pour parcourir 144 m ? Utiliser trois méthodes différentes pour répondre à ces trois questions.

2. Pour 6 kg de pommes, Jules a payé 10 €. Pour la même variété de pommes, Cloé a payé 15 € et Zoé a payé 12 €. Quelle est la masse des pommes achetées par chacune d’elles ? Utiliser trois méthodes différentes pour répondre à cette question.