Proportionnalité multiple et proportionnalité inverse

Dans certaines situations, une grandeur est proportionnelle à plusieurs autres, chacune étant prise séparément. Dans d’autres situations, une grandeur est inversement proportionnelle à une autre grandeur.

I) La leçon

1) Proportionnalité multiple

Exemple : Dans un camping, le coût d’un séjour dépend du nombre de jours d’installation et du nombre de personnes. La situation peut être modélisée à l’aide d’un tableau, par exemple si on paie 8 € par personne et par jour.

Dans cette situation, le coût du séjour est proportionnel d’une part au nombre de personnes installées et d’autre part à la durée du séjour (en jours). On parle de proportionnalité multiple (dans le cas présent de double proportionnalité).

2) Proportionnalité inverse

Définition : deux suites de nombres réels ($x_1$ ; $x_2$ ; ... ; $x_n$) et ($y_1$ ; $y_2$ ;... ; $y_n$) (avec tous les $x_i$ et $y_i$ non nuls) sont inversement proportionnelles si et seulement si les suites $(\frac{1}{x};\frac{1}{x_2};\ldots;\frac{1}{x_n})$ et $(y_1;y_2;\dots;y_n)$ sont proportionnelles.

Exemple : Pour remplir un bassin, on dispose de 6 robinets de débit identique. Si on ouvre seulement 3 robinets, le remplissage du bassin nécessitera 2 fois plus de temps que si on ouvre les 6 robinets.

Dans cette situation, on parle de proportionnalité inverse (on dit aussi que la durée du remplissage est inversement proportionnelle au nombre de robinets ouverts).
La situation peut être modélisée à l’aide du tableau ci-dessus (par exemple s’il faut 10 min pour remplir la cuve avec 6 robinets). Traçons une nouvelle ligne dans le tableau en écrivant les inverses des nombres qui expriment le nombre de robinets.

On remarque que les suites (10 ; 30 ; 15) et $(\frac{1}{6};\frac{1}{2};\frac{1}{4})$ sont proportionnelles. Le coefficient de proportionnalité est 60. En effet, $\frac{1}{6}\times60=10$ ; $\frac{1}{2}\times60=30$ ; $\frac{1}{4}\times60=15$.

Propriété : deux suites de nombres réels ($x_1$ ; $x_2$ ; ... ; $x_n$) et ($y_1$ ; $y_2$ ; ... ; $y_n$) (avec tous les $x_i$ et $y_i$ non nuls) sont inversement proportionnelles si et seulement si $x_1 \times y_1 = x_2 \times y_2 =\dots= x_n \times y_n$.

II) Ce qu'il faut savoir faire

Résoudre un problème de proportionnalité multiple

Exemple : trois machines identiques produisent 360 pièces en 20 minutes. Combien de pièces seront produites en 15 minutes par 12 machines identiques aux précédentes ?

Résoudre un problème de proportionnalité inverse

Exemple : 30 vendangeurs qui travaillent tous au même rythme récoltent le raisin d’un vignoble en 6 jours. Combien faudrait-il de temps à 8 vendangeurs qui travaillent au même rythme que les précédents pour réaliser ce même travail ?

Remarque : il s’agit d’une situation de proportionnalité inverse : en effet, s’il y a deux fois plus de vendangeurs, il faudra deux fois moins de temps pour faire la récolte.

III) Je m'entraine

1. 12 vaches mangent 250 kg de foin en 8 jours. Quelle quantité de foin faut-il pour nourrir 60 vaches pendant 4 jours ?
2. 12 vaches mangent 250 kg de foin en 9 jours. Combien de vaches peut-on nourrir avec la même quantité de foin en 6 jours ?