Partager selon un ratio

Partager selon un ratio signifie partager en respectant des proportions.

I) La leçon

1) Ratio

Définition : on dit, par exemple, que trois nombres $a$, $b$ et $c$ sont dans le ratio 6 : 9 : 21 (lu 6 pour 9 pour 21) s'ils vérifient ces inégalités de rapports :

$\frac{a}{6}=\frac{b}{9}=\frac{c}{21}$.

Ces égalités montrent que les suites ($a$ ; $b$ ; $c$) et (6 ; 9 ; 21) sont des suites de nombres proportionnelles.

Exemple : Les nombres 5 ; 7,5 ; 10,5 sont dans le ratio 6 : 9 : 21. En effet, on a bien : $\frac{5}{6}=\frac{7,5}{9}=\frac{17,5}{21}$.

2) Partager selon un ratio

Définition : une quantité $t$ est partagée selon le ratio $r_1$ : $r_2$ : $r_3$ : $r_4$ si elle est répartie en quatre quantités $t_1$ ; $t_2$ ; $t_3$ ; $t_4$ qui vérifient :

$\left\{ \begin{array}{ll} t_1+r_2+t_3+t_4=t\\ \frac{t_1}{r_1}=\frac{t_2}{r_2}=\frac{t_3}{r_3}=\frac{t_4}{r_4} \end{array} \right.$

On choisit en général pour $r_1$, $r_2$, $r_3$ et $r_4$ des nombres naturels. 

Propriété : si une quantité $t$ est partagée en quatre quantités $t_1$ ; $t_2$ ; $t_3$ ; $t_4$ selon le ratio $r_1$ : $r_2$ : $r_3$ : $r_4$ alors :

$\frac{t_1}{r_1} = \frac{t_2}{r_2} = \frac{t_3}{r_3} = \frac{t_4}{r_4} = \frac{t_1+t_2+t_3+t_4}{r_1+r_2+r_3+r_4} = \frac{t}{r_1+r_2+r_3+r_4}$

Cette égalité résulte de la propriété de linéarité additive relative à la proportionnalité.

II) Ce qu'il faut savoir faire

Trouver un ratio simplifié

Exemple : cinq enfants se sont partagés 147 billes. Le premier en a reçu 14, le deuxième 21, le troisième 28, le quatrième 35 et le cinquième 49. Quel est le ratio simplifié de ce partage ?

Partager selon un ratio

Exemple : un héritage de 32 500 € doit être partagé entre trois personnes selon le ratio 2 : 4 : 7. Quelle sera la part de chacun ?

III) Je m'entraine

1. Lesquelles de ces quatre suites de nombres sont dans le ratio 3 : 7 ?
a. (4 ; 8) ; b. (4,5 : 10,5) ; c. (9 ; 49) ; d. (15 ; 35)

2. Simplifier les ratios suivants : a. 16 : 28 : 44 ; b. 18 : 30 : 72 : 120 ; c. 14 : 70 : 126

3. Pour réaliser une vinaigrette, on mélange 12 cuillerées à soupe d’huile avec 8 cuillerées à soupe de vinaigre. Quel est le ratio de cette recette exprimé sous forme simplifiée ?

4. Pour préparer une pâte à crêpe, on met 300 g de farine, 4 œufs et 80 cL de lait. Quel est le ratio de cette recette exprimé sous forme simplifiée ?

5. Quatre amis ont joué au loto et ont misé selon le ratio 2 : 3 : 4 : 5. Ils ont gagné 2 100 € et se partagent cette somme selon le même ratio. Quelle est la part de chacun ?