Nombres premiers

Les nombres premiers peuvent être considérés comme étant à la base de l’arithmétique, car ils permettent d’engendrer tous les autres nombres entiers naturels.

I) Leçon

1) Nombres premiers

Un nombre entier naturel $n$ est un nombre premier s’il a exactement deux diviseurs : 1 et $n$.

Exemple : 13 est un nombre premier (on dit aussi « premier ») car ses seuls diviseurs sont 1 et 13.
1 n’est pas premier car il n’a qu’un seul diviseur : lui-même.
0 n’est pas premier car il a une infinité de diviseurs (tout nombre entier naturel).
9 n’est pas premier car il a trois diviseurs : 1, 3 et 9.

Il existe une infinité de nombres premiers.

2) Nombres premiers inférieurs à 100

Il est utile de connaitre les nombres premiers inférieurs à 100 ou, au moins, ceux qui sont inférieurs à 50. Ils sont entourés dans ce tableau.

3) Propriété

Soit $n$ un nombre entier naturel. Si $n$ n'est divisible par aucun nombre premier inférieur à $\sqrt{n}$ , alors $n$ est un nombre premier.

4) Décomposition d’un nombre en produit de facteurs premiers

Tout nombre entier naturel différent de 0 et 1 peut être décomposé en produit de facteurs qui sont tous des nombres premiers, et cela de manière unique.

Le nombre 1 ne figure pas dans la décomposition (en effet, 1 n’est pas un nombre premier).

II) Ce qu'il faut savoir faire

Chercher si un nombre entier naturel est premier

Exemple : le nombre 181 est-il un nombre premier ?

Exemple : décomposer 252 en produit de facteurs premiers.

Exemple : décomposer 90 en produit de facteurs premiers. Autre méthode : on décompose le nombre de proche en proche.

Exemple : $90=2 \times 45=2 \times 3 \times 15=$...

III) Je m'entraîne

1. Ces nombres sont-ils premiers : a. 107 ; b. 111 ; c. 121 ; d. 347 ?

2. Décomposer 112 en produit de facteurs premiers et en déduire la liste des diviseurs de 112.

3. Décomposer 1 050 en produit de facteurs premiers et en déduire la liste des diviseurs de 1 050.