Multiples et diviseurs communs

La recherche des multiples ou des diviseurs communs à deux nombres intervient dans de nombreux problèmes pratiques.

I) Leçon

1) Ppcm, pgcd, multiples et diviseurs communs

A. Plus petit commun multiple à deux nombres entiers naturels (ppcm)

$a$ et $b$ sont deux nombres entiers naturels. Le plus petit commun multiple à $a$ et $b$, qu’on écrit ppcm ($a$ ; $b$), est le plus petit nombre non nul à la fois multiple de $a$ et de $b$.

Exemple : Premiers multiples de 9 : 0 ; 9 ; 18 ; 27 ; 36 ; 45...
Premiers multiples de 12 : 0 ; 12 ; 24 ; 36 ; 48 ; 60. Donc ppcm (9 ; 12) = 36.

B. Multiples communs à deux nombres entiers naturels et ppcm

L’ensemble des multiples communs à deux nombres est celui des multiples de leur ppcm.

Exemple : Ppcm (9 ; 12) = 36 donc les multiples communs de 9 et 12 sont les multiples de 36 : 0 ; 36 ; 72 ; 108...

C. Plus grand commun diviseur de deux nombres entiers naturels (pgcd)

$a$ et $b$ sont deux nombres entiers naturels.Le plus grand commun diviseur de $a$ et $b$, qu’on écrit pgcd ($a$ ; $b$), est le plus grand nombre qui est à la fois diviseur de $a$ et de $b$.

Exemple : Diviseurs de 24 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24
Diviseurs de 36 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36. Donc pgcd (24 ; 36) = 12.

D. Diviseurs communs à deux nombres entiers naturels et pgcd

L’ensemble des diviseurs communs à deux nombres est celui des diviseurs de leur pgcd.

Exemple : Diviseurs communs à 24 et à 36 : pgcd (24 ; 36) = 12 donc les diviseurs communs de 24 et 36 sont les diviseurs de 12 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12.

2) Nombres entiers naturels premiers entre eux

Deux nombres entiers naturels sont dits premiers entre eux si leur pgcd est 1.

Exemple : 15 et 28 sont premiers entre eux (leur pgcd est 1). Mais 15 et 27 ne sont pas premiers entre eux (leur pgcd est 3).

Conséquences :

• Deux nombres premiers entre eux n’ont qu’un seul diviseur commun (c’est 1).
• Deux nombres sont premiers entre eux si et seulement si leurs décompositions en produit de facteurs premiers ne comportent aucun facteur commun.

Nombres premiers entre eux et divisibilité : si un nombre entier naturel est divisible par deux nombres premiers entre eux, alors il est divisible par leur produit.

Exemple : 84 est divisible par $2$ et par $3$ ; $2$ et $3$ sont premiers entre eux ; donc 84 est divisible par $2 \times 3$, donc par 6.

Attention :
Pour utiliser cette propriété, il faut s’assurer que les deux nombres sont premiers entre eux. Ainsi 84 est multiple de 4 et de 6, mais 84 n’est pas multiple de 24, car 4 et 6 ne sont pas premiers entre eux.

II) Ce qu'il faut savoir faire

➢ Trouver le ppcm de deux nombres

Exemple : trouver le ppcm de 180 et de 135.

Remarque : une autre méthode consiste à écrire les listes des premiers multiples de chaque nombre jusqu’à trouver le plus petit commun aux deux listes. Mais elle peut s’avérer longue.

➢ Trouver le pgcd de deux nombres

Exemple : trouver le pgcd de 180 et de 135.

Remarque : une autre méthode consiste à écrire les listes des diviseurs de chaque nombre jusqu’à trouver le plus grand commun aux deux listes.

➢ Déterminer si deux nombres sont premiers entre eux

On calcule leur pgcd et on vérifie s’il est égal ou non à 1.

III) Je m'entraîne

1. Calculer le ppcm et le pgcd de : 24 et 42 ; 70 et 125. En déduire les cinq premiers multiples communs et l’ensemble des diviseurs communs à chaque couple de nombres.

2. Quels sont les couples de nombres premiers entre eux ? a. (18 ; 25) ; b. (18 ; 45) ; c. (18 ; 105) ; d. (18 ; 101)