Nombres décimaux

Dans l’ensemble des nombres rationnels, certains sont particulièrement utilisés, notamment dans le domaine de la mesure. Ce sont les nombres décimaux.

I) Leçon

1) Définition

Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous forme d’une fraction décimale, c’est-à-dire d’une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 (rappel : $10^0 = 1$ ; $10^1 = 10$ ; $10^2 = 100$...).

Exemple : $3$ ; $\frac{17}{100}$ ; $\frac{3}{4}$ sont des nombres décimaux. En effet, $3 = \frac{3}{10^0}$ ; $\frac{17}{100} = \frac{17}{10^2}$ ; $\frac{3}{4} = \frac{75}{100} = \frac{75}{10^2}$.

$\frac{2}{3}$ n'est pas un nombre décimal.

2) Fractions et nombres décimaux

Une fraction représente un nombre décimal si et seulement si elle est égale à une fraction irréductible dont le dénominateur peut être décomposé sous forme d’un produit de facteurs premiers formé uniquement de puissances de 2 et/ou de 5.

Exemple : $\frac{9}{75} = \frac{3^2}{3 \times 5^2}$. Donc $\frac{9}{75}$ représente un nombre décimal (il s'écrit aussi $\frac{3}{25}$ ou $\frac{12}{100}$).

$\frac{6}{180} = \frac{2 \times 3}{2^2 \times 3^2 \times 5} = \frac{1}{2 \times 3 \times 5} = \frac{1}{30}$. La décomposition en facteurs premiers de 30 contient un facteur autre que 2 et 5. Donc $\frac{6}{180}$ ne représente pas un nombre décimal.

3) Écriture décimale d’un nombre décimal (ou écriture à virgule)

Un nombre décimal non entier peut s’écrire avec une virgule et un nombre fini de chiffres à droite de la virgule. On parle d’écriture décimale du nombre décimal.

Cette écriture décimale correspond à une traduction de la décomposition du nombre en somme de fractions décimales simples.

L’écriture décimale des nombres décimaux est fondée sur les mêmes principes que celle des nombres entiers naturels : principe décimal et principe positionnel.

Exemple :

4) Parties entière et décimale d’un nombre décimal

La partie entière d’un nombre décimal est le plus grand nombre entier relatif qui lui est inférieur.

Un nombre décimal est égal à la somme de sa partie entière et de sa partie décimale.

Exemple : $12,05 = 12 + 0,05$. $12$ est la partie entière de $12,05$ et $0,05$ est sa partie décimale.

$−12,05 = −13 + 0,95$. $−13$ est la partie entière de $−12,05$ et $0,95$ est sa partie décimale.

5) Chiffres des... et nombre de...

Un nombre décimal peut être décomposé à l’aide des puissances de 10, par exemple en s’appuyant sur un tableau de numération.

Rappel : (pour $n$ entier naturel), $10^{-n} = \frac{1}{10^n}$. Par exemple, $10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1~000}$.

Exemple : $0,203 = 2 \times 10^{-1} + 0 \times 10^{-2} + 3 \times 10^{-3}$. Dans $0,203$, $2$ est le chiffre des dixièmes, $0$ celui des centièmes et $3$ celui des millièmes.

Pour chaque nombre, d’autres décompositions utilisent les puissances de 10.

Exemple : $0,203 = 20 \times 10^{-2} + 3 \times 10^{-3}$. Dans $0,203$ , le nombre de centièmes est $20$.

II) Ce qu'il faut savoir faire

➢ Reconnaitre si une fraction représente un nombre décimal

Exemple : les fractions $\frac{147}{700}$ et $\frac{147}{6~300}$ représentent-elles des nombres décimaux ?

III) Je m'entraîne

1. Dans 104,318 : a. Quelle est la partie entière et quelle est la partie décimale ?b. Quel est le chiffre des dixièmes et quel est le nombre de dixièmes ?

2. Ces fractions représentent-elles des nombres décimaux $\frac{3}{25}$ ; $\frac{5}{12}$ ; $\frac{24}{15}$ ; $\frac{45}{350}$ ?

Si oui, les écrire sous forme de fraction décimale et en écriture décimale.