Multiplication, division avec les fractions

Comme pour les nombres entiers naturels, la multiplication et la division de fractions sont en lien étroit : savoir multiplier deux fractions permet de savoir les diviser.

I) Leçon

1) Multiplier des fractions

$a$, $b$, $c$ et $d$ sont des nombres entiers relatifs, avec $c \ne 0$ et $d \ne 0$ : $\frac{a}{c} \times \frac{b}{d} = \frac{a \times b}{c \times d}$.

Exemple : $\frac{5}{12} \times \frac{8}{9} = \frac{5 \times 8}{12 \times 9} = \frac{40}{108} = \frac{10}{27}$

Cas particulier : multiplier une fraction par un nombre entier.

$a$, $b$ et $c$ sont des nombres entiers relatifs, avec $c \ne 0$ : $a \times \frac{b}{c} = \frac{a}{1} \times \frac{b}{c} = \frac{a \times b}{1 \times c} = \frac{a \times b}{c}$.

De façon plus générale, on établit que : $a \times \frac{b}{c} = \frac{a}{c} \times b = \frac{a \times b}{c}$.

Exemple : $6 \times \frac{3}{5} = \frac{6 \times 3}{5}= \frac{18}{5}$

Application : calculer (ou prendre) une fraction d’un nombre, c’est multiplier ce nombre par la fraction.

Exemple : $\frac{3}{4}$ de $12$ est égal à $9$. En effet, $12 \times \frac{3}{4} = \frac{36}{4} = 9$.

2) Fractions inverses

Deux fractions sont dites inverses si leur produit est égal à 1. $a$ et $b$ sont des nombres entiers relatifs, avec $a \ne 0$ et $b \ne 0$.

Les fractions $\frac{a}{b}$ et $\frac{b}{a}$ sont inverses l’une de l’autre. En effet : $\frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = \frac{a \times b}{b \times a} = 1$

Exemple : $\frac{3}{4}$ et $\frac{4}{3}$ sont inverses l'une de l'autre.

3) Diviser une fraction par une fraction

$a$, $b$, $c$ et $d$ sont des nombres entiers relatifs, avec b≠0, c≠0 et d≠0.

Pour diviser $\frac{a}{b}$ par $\frac{c}{d}$, on multiplie $\frac{a}{b}$ par l'inverse de $\frac{c}{d}$.

On peut donc écrire : $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}$ ou encore $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}$.

Exemple : $\frac{3}{4} : \frac{7}{5} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{7}{5}} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{7} = \frac{15}{28}$

Cas particuliers :

• division d’un nombre par une fraction : $a : \frac{b}{c} = \frac{a}{\frac{b}{c}} = a \times \frac{c}{b} = \frac{a \times c}{b}$ ;
• division d’une fraction par un nombre : $\frac{a}{b} : c = \frac{\frac{a}{b}}{c} = \frac{a}{b} \times \frac{1}{c} = \frac{a}{b \times c}$.

II) Ce qu'il faut savoir faire

➢ Multiplier deux fractions

Exemple : calculer $\frac {14}{27} \times \frac {45}{16}$.

Remarque : il est important de faire toutes les simplifications possibles avant d’effectuer les produits de façon à obtenir une fraction irréductible comme résultat.

➢ Diviser deux fractions

Exemple : calculer $\frac{15}{28} : \frac{6}{7}$.

On revient au calcul d’une multiplication en prenant l’inverse de la 2^e fraction :

III) Je m'entraîne

1. Calculer : a. $\frac{18}{30} \times \frac{22}{18}$ b. $8 \times \frac{5}{42}$ c. $\frac{4}{15} \times \frac{7}{15}$

2. Calculer : a. $\frac{18}{30} : \frac{22}{18}$ b. $8 : \frac{12}{5}$ c. $\frac{12}{5} : 8$

3. Calculer : a. $\frac{\frac{4}{3}}{\frac{6}{14}}$ b. $\frac{4}{\frac{6}{14}}$ c. $\frac{\frac{4}{3}}{6}$