Les puissances peuvent être utilisées pour faciliter l’écriture de nombres très petits ou très grands. En algèbre, on peut remplacer les nombres par des lettres. L’écriture des expressions littérales se transforme à l’aide de règles.

1 - Apprendre le cours

A - Les puissances

Définition

Le produit d’un nombre plusieurs fois par lui-même peut s’écrire sous forme d’une puissance de la façon suivante :
n étant un nombre entier supérieur à 1,

5ceb8eb8-cf55-43cd-a845-5be60c4dd09b

aⁿ se lit : « a puissance n ». On dit que a est élevé à la puissance n. Le nombre n est appelé exposant.

Par convention : a⁰ = 1 ; a¹ = a ; a^{− n}= 1/aⁿ (a ≠ 0).

Cas particuliers : a² se lit « a au carré » ; a³ se lit « a au cube ».

Exemples
3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 ; l’exposant de 3⁴est 4.
(− 4)³ = (− 4) × (− 4) × (− 4) = − 64 ; − 64 est le cube de − 4.

Les puissances de 10

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Exemples
10⁴ = 10 000 ; 10⁶ = 1 000 000 = 1 million ; 10⁹ = 1 000 000 000 = 1 milliard.
10^{− 3} = 0,001 = 1 millième
5 × 10³ = 5 × 1 000 = 5 000 ; 7 × 10^{− 2} = 7 × 0,01 = 0,07
Dans un calcul, les puissances ont priorité sur les multiplications et les divisions.

B - La réduction d’expressions littérales

Réduire, c’est transformer une écriture pour la rendre plus simple.

On additionne les termes qui contiennent les mêmes lettres avec les mêmes exposants.
En l’absence de multiplication, on supprime les parenthèses.

Lorsqu’elles sont précédées d’un signe +, on les supprime sans changer les signes des termes placés dans les parenthèses.

Lorsqu’elles sont précédées d’un signe −, on les supprime en changeant les signes des termes placés dans les parenthèses.

Exemples
4x + 9x − x = 12x.
5y−8y² +3+2y−4+y² =−7y² +7y−1.
(3u − 5) + (7 − 8u) + (− 4 + u) = 3u − 5 + 7 − 8u − 4 + u = − 4u − 2.
(3a − 5) − (7 − 8a) − (− 4 + a) = 3a − 5 − 7 + 8a + 4 − a = 10a − 8.

C - Le développement d'un produit

Développer un produit, c’est le transformer en une somme de termes.

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Le produit d'un nombre par une somme

Quels que soient les nombres relatifs a, b, k, on a : 4ea6cb17-bf4c-4bc6-8964-2cfedad22c6a

On dit que la
multiplication est distributive sur l’addition et la soustraction.

Exemple
Développer A = − 4(2x + 5) et B = x(2 − 3x).
A = (− 4) × 2x + (− 4) × 5 = − 8x – 20.
B = x × 2 + x × (− 3x) = 2x − 3x².

Le produit d'une somme par une somme

Quels que soient les nombres relatifs a, b, c et d, on a :

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Exemple
Développer et réduire E = (5x + 2)(3x + 4).
E = 5x × 3x + 5x × 4 + 2 × 3x + 2 × 4 = 15x²+ 20x + 6x + 8 = 15x² + 26x + 8.

D - La factorisation

Factoriser une somme, c’est la transformer en produit.

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Une des méthodes possibles pour factoriser une somme est la mise en facteur commun.

Exemples

15 + 3x = 3(5 + x) : on a mis 3 en facteur commun.

7x² − 14x = 7x(x − 2) : on a mis 7x en facteur commun.
(3x − 1)(x + 6) + 5(3x − 1) = (3x − 1)(x + 6 + 5) = (3x − 1)(x + 11) : on a mis (3x − 1) en facteur commun.

Méthode : Comment mettre en facteur commun ?

Énoncé
Factoriser A = (x + 3)(2x + 5) − (x + 3)(x − 7).

Réponse

On écrit (x + 3) comme facteur commun : A = (x + 3)[(2x + 5) − (x − 7)]
On met dans le crochet « tout ce qui reste » une fois que (x + 3) est écrit.

On réduit l’expression entre les crochets après avoir supprimé les parenthèses :

A = (x + 3)(2x + 5 − x + 7)
A = (x + 3)(x + 12)

2 - Appliquer le cours

EXERCICES

Puissances

1. Calculer. Donner le résultat sous la forme d’une fraction lorsque c’est nécessaire.
a. 5⁶ ; 6⁵ ; 0,5³ ; 17² ; 1,2⁴.
b. (− 6)⁴; − 6⁴ ; (− 4)⁵ ; − 4⁵ ; 2^{− 3} ; 5^{− 2}.

2. Écrire chaque nombre sous la forme d’une puissance de 10.
a. mille = 10... ; dix mille = ... ; un million = ... ; un milliard = ...
b. un centième = ... ; un millième = ... ; un millionième = ...

3. Calculer 7,2 × 10⁵ ; 0,04 × 10⁶ ; 13 × 10^{− 5} ; 0,8 × 10^{− 1}.

Réduction d’expressions littérales

4. Réduire les expressions suivantes.
a.2x² +5−3x² +8 ;−3b+8−b−1+10b.
b. 2x² − 7 + 3x − 8x + 5 + 4x² ; 3v − v2 + 10 + v + 4 − 3v².

5. Supprimer les parenthèses, puis réduire.

a.(5y−8)−(8y+3)+(−5y−3). b.2y−6+(−3y+5)−(−y−10).
c.2−8x+(1+2x2 −5x)−(x+x² −3).

Développement

6. Dire si les expressions suivantes sont des sommes ou des produits.
A = 4x + 6 ; B = 5(a + 3) ; C = (2x + 1)(3x + 2) ; D = 8y² + 5y + 3 ; E = a(2b + a).

7. Développer et réduire.
a. A = 2 − 3(8 − 9x) + 4(5 − 2x) ; B = 0,4(5x + 3) − 0,2(2x − 5) ;
C = 2x(3x − 5) − 4x(2x − 7).
b. D = (x + 2)(x − 3) ; E = (4x − 5)(x − 8); F = (2x − 3)(x + 0,5) ; G = (3x − 1)(3x − 1).

c. H = (− x + 4)(6x − 1) − 3(x2 + x − 2).

Factorisation

8. Factoriser les expressions suivantes.
A = 5x – 15y + 20 ; B = a⁵ + 7a³ ; C = 7x² − 14x ; D = 28x³ + 14x² − 7x.

9. Factoriser les expressions suivantes.

A = x(2x – 3) + 5(2x – 3) ; B = 2(2x + 1) + 3(2x + 1).
C = x(x + 3) – 8(x + 3) ; D = (3x – 2)(x + 4) – 5(x + 4).
E = (x − 1)(x + 1) + (x − 1)(2x + 5).
F = (2x + 3)(2x − 4) − (2x + 3)(x + 9).

CORRIGÉ

Puissances

1. a. 5⁶ = 15 625 ; 6⁵ = 7 776 ; 0,5³ = 0,125 ; 17² = 289 ; 1,2⁴ = 2,0736. 1 1
b. (− 6)⁴ = 1 296 ; − 6⁴ = − 1 296 ; (− 4)⁵= − 1 024 ; − 4⁵ = − 1 024 ; 2^{− 3} = 1/8 ; 5^{− 2} = 1/25 .

2. a. mille = 10³ ; dix mille = 10⁴ ; un million = 10⁶ ; un milliard = 10⁹.
b. un centième = 10^{− 2} ; un millième = 10^{− 3} ; un millionième = 10^{− 6}.

3. 7,2 × 10⁵ = 720 000 ; 0,04 × 10⁶ = 40 000 ; 13 × 10^{− 5}= 0,00013 ; 0,8 × 10^{− 1} = 0,08.

Réduction d’expressions littérales

4. a. 2x² + 5 − 3x² + 8 = − x² + 13 ; − 3b + 8 − b − 1 + 10b = 6b + 7.
b. 2x² − 7 + 3x − 8x + 5 + 4x² = 6x² − 5x – 2 ;
3v−v² +10+v+4−3v² =−4v² +4v+14.

5. a. (5y − 8) − (8y + 3) + (− 5y − 3) = 5y − 8 − 8y − 3 − 5y − 3 = − 8y – 14.
b. 2y − 6 + (− 3y + 5) − (− y − 10) = 2y − 6 − 3y + 5 + y + 10 = 9.
c.2−8x+(1+2x² −5x)−(x+x² −3)=2−8x+1+2x² −5x−x−x² +3=x2 −14x+6.

Développement

6. A : somme ; B : produit ; C : produit ; D : somme ; E : produit.

7. a. A = 2 − 3(8 − 9x) + 4(5 − 2x) = 2 − 24 + 27x + 20 − 8x = 19x – 2.
B = 0,4(5x + 3) − 0,2(2x − 5) = 2x + 1,2 − 0,4x + 1 = 1,6x + 2,2.
C = 2x(3x − 5) − 4x(2x − 7) = 6x² − 10x − 8x2 + 28x = − 2x² + 18x.

b. D = (x + 2)(x − 3) = x² − x − 6 ; E = (4x − 5)(x − 8) = 4x² − 37x + 40.

F = (2x − 3)(x + 0,5) = 2x²− 2x − 1,5 ; G = (3x − 1)(3x − 1) = 9x² − 6x + 1.

c.H=(−x+4)(6x−1)−3(x² +x−2)=−6x² +25x−4−3x² −3x+6=−9x² +22x+2.

Factorisation

8. A = 5x – 15y + 20 = 5(x − 3y + 4) ; B = a⁵ + 7a3 = a³(a² + 7) ;
C = 7x² − 14x = 7x(x − 2) ; D = 28x³ + 14x² − 7x = 7x(4x² + 2x − 1).

9. A = x(2x – 3) + 5(2x – 3) = (2x − 3)(x + 5).
B = 2(2x + 1) + 3(2x + 1) = 5(2x + 1).
C = x(x + 3) – 8(x + 3) = (x + 3)(x − 8).
D = (3x – 2)(x + 4) – 5(x + 4) = (x + 4)(3x − 2 − 5) = (x + 4)(3x − 7).
E = (x − 1)(x + 1) + (x − 1)(2x + 5) = (x − 1)[(x + 1) + (2x + 5)] = (x − 1)(3x + 6).
F = (2x + 3)(2x − 4) − (2x + 3)(x + 9) = (2x + 3)[(2x − 4) − (x + 9)] = (2x + 3)(x − 13).

1 - Apprendre le cours

A - Les puissances

Définition

Le produit d’un nombre plusieurs fois par lui-même peut s’écrire sous forme d’une puissance de la façon suivante :
n étant un nombre entier supérieur à 1,

5ceb8eb8-cf55-43cd-a845-5be60c4dd09b

aⁿ se lit : « a puissance n ». On dit que a est élevé à la puissance n. Le nombre n est appelé exposant.

Par convention : a⁰ = 1 ; a¹ = a ; a^{− n}= 1/aⁿ (a ≠ 0).

Cas particuliers : a² se lit « a au carré » ; a³ se lit « a au cube ».

Exemples
3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 ; l’exposant de 3⁴est 4.
(− 4)³ = (− 4) × (− 4) × (− 4) = − 64 ; − 64 est le cube de − 4.

Les puissances de 10

f544a16d-7868-494d-af04-f8dcc4345f1b

Exemples
10⁴ = 10 000 ; 10⁶ = 1 000 000 = 1 million ; 10⁹ = 1 000 000 000 = 1 milliard.
10^{− 3} = 0,001 = 1 millième
5 × 10³ = 5 × 1 000 = 5 000 ; 7 × 10^{− 2} = 7 × 0,01 = 0,07
Dans un calcul, les puissances ont priorité sur les multiplications et les divisions.

B - La réduction d’expressions littérales

Réduire, c’est transformer une écriture pour la rendre plus simple.

On additionne les termes qui contiennent les mêmes lettres avec les mêmes exposants.
En l’absence de multiplication, on supprime les parenthèses.

Lorsqu’elles sont précédées d’un signe +, on les supprime sans changer les signes des termes placés dans les parenthèses.

Lorsqu’elles sont précédées d’un signe −, on les supprime en changeant les signes des termes placés dans les parenthèses.

Exemples
4x + 9x − x = 12x.
5y−8y² +3+2y−4+y² =−7y² +7y−1.
(3u − 5) + (7 − 8u) + (− 4 + u) = 3u − 5 + 7 − 8u − 4 + u = − 4u − 2.
(3a − 5) − (7 − 8a) − (− 4 + a) = 3a − 5 − 7 + 8a + 4 − a = 10a − 8.

C - Le développement d'un produit

Développer un produit, c’est le transformer en une somme de termes.

53efa0cf-1de8-40b6-9ee6-1bd5a54b55dd

Le produit d'un nombre par une somme

Quels que soient les nombres relatifs a, b, k, on a : 4ea6cb17-bf4c-4bc6-8964-2cfedad22c6a

On dit que la
multiplication est distributive sur l’addition et la soustraction.

Exemple
Développer A = − 4(2x + 5) et B = x(2 − 3x).
A = (− 4) × 2x + (− 4) × 5 = − 8x – 20.
B = x × 2 + x × (− 3x) = 2x − 3x².

Le produit d'une somme par une somme

Quels que soient les nombres relatifs a, b, c et d, on a :

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Exemple
Développer et réduire E = (5x + 2)(3x + 4).
E = 5x × 3x + 5x × 4 + 2 × 3x + 2 × 4 = 15x²+ 20x + 6x + 8 = 15x² + 26x + 8.

D - La factorisation

Factoriser une somme, c’est la transformer en produit.

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Une des méthodes possibles pour factoriser une somme est la mise en facteur commun.

Exemples

15 + 3x = 3(5 + x) : on a mis 3 en facteur commun.

7x² − 14x = 7x(x − 2) : on a mis 7x en facteur commun.
(3x − 1)(x + 6) + 5(3x − 1) = (3x − 1)(x + 6 + 5) = (3x − 1)(x + 11) : on a mis (3x − 1) en facteur commun.

Méthode : Comment mettre en facteur commun ?

Énoncé
Factoriser A = (x + 3)(2x + 5) − (x + 3)(x − 7).

Réponse

On écrit (x + 3) comme facteur commun : A = (x + 3)[(2x + 5) − (x − 7)]
On met dans le crochet « tout ce qui reste » une fois que (x + 3) est écrit.

On réduit l’expression entre les crochets après avoir supprimé les parenthèses :

A = (x + 3)(2x + 5 − x + 7)
A = (x + 3)(x + 12)

2 - Appliquer le cours

EXERCICES

Puissances

3. Calculer 7,2 × 10⁵ ; 0,04 × 10⁶ ; 13 × 10^{− 5} ; 0,8 × 10^{− 1}.

Réduction d’expressions littérales

4. Réduire les expressions suivantes.
a.2x² +5−3x² +8 ;−3b+8−b−1+10b.
b. 2x² − 7 + 3x − 8x + 5 + 4x² ; 3v − v2 + 10 + v + 4 − 3v².

5. Supprimer les parenthèses, puis réduire.

a.(5y−8)−(8y+3)+(−5y−3). b.2y−6+(−3y+5)−(−y−10).
c.2−8x+(1+2x2 −5x)−(x+x² −3).

Développement

6. Dire si les expressions suivantes sont des sommes ou des produits.
A = 4x + 6 ; B = 5(a + 3) ; C = (2x + 1)(3x + 2) ; D = 8y² + 5y + 3 ; E = a(2b + a).

c. H = (− x + 4)(6x − 1) − 3(x2 + x − 2).

Factorisation

8. Factoriser les expressions suivantes.
A = 5x – 15y + 20 ; B = a⁵ + 7a³ ; C = 7x² − 14x ; D = 28x³ + 14x² − 7x.

9. Factoriser les expressions suivantes.

CORRIGÉ

Puissances

2. a. mille = 10³ ; dix mille = 10⁴ ; un million = 10⁶ ; un milliard = 10⁹.
b. un centième = 10^{− 2} ; un millième = 10^{− 3} ; un millionième = 10^{− 6}.

3. 7,2 × 10⁵ = 720 000 ; 0,04 × 10⁶ = 40 000 ; 13 × 10^{− 5}= 0,00013 ; 0,8 × 10^{− 1} = 0,08.

Réduction d’expressions littérales

4. a. 2x² + 5 − 3x² + 8 = − x² + 13 ; − 3b + 8 − b − 1 + 10b = 6b + 7.
b. 2x² − 7 + 3x − 8x + 5 + 4x² = 6x² − 5x – 2 ;
3v−v² +10+v+4−3v² =−4v² +4v+14.

Développement

6. A : somme ; B : produit ; C : produit ; D : somme ; E : produit.

b. D = (x + 2)(x − 3) = x² − x − 6 ; E = (4x − 5)(x − 8) = 4x² − 37x + 40.

F = (2x − 3)(x + 0,5) = 2x²− 2x − 1,5 ; G = (3x − 1)(3x − 1) = 9x² − 6x + 1.

c.H=(−x+4)(6x−1)−3(x² +x−2)=−6x² +25x−4−3x² −3x+6=−9x² +22x+2.

Factorisation

8. A = 5x – 15y + 20 = 5(x − 3y + 4) ; B = a⁵ + 7a3 = a³(a² + 7) ;
C = 7x² − 14x = 7x(x − 2) ; D = 28x³ + 14x² − 7x = 7x(4x² + 2x − 1).

Les puissances et le calcul littéral - Adjoint administratif d'Etat

1 - Apprendre le cours

A - Les puissances

B - La réduction d’expressions littérales

C - Le développement d'un produit

D - La factorisation

2 - Appliquer le cours

Puissances

Réduction d’expressions littérales

Développement

Factorisation

Puissances

Réduction d’expressions littérales

Développement

Factorisation

Les puissances et le calcul littéral - Adjoint administratif d'Etat

1 - Apprendre le cours

A - Les puissances

B - La réduction d’expressions littérales

C - Le développement d'un produit

D - La factorisation

2 - Appliquer le cours

Puissances

Réduction d’expressions littérales

Développement

Factorisation

Puissances

Réduction d’expressions littérales

Développement

Factorisation

Les puissances et le calcul littéral - Adjoint administratif d'Etat

1 - Apprendre le cours

A - Les puissances

B - La réduction d’expressions littérales

C - Le développement d'un produit​

​D - La factorisation

2 - Appliquer le cours

Puissances

Réduction d’expressions littérales​

Développement​

Factorisation

Puissances

Réduction d’expressions littérales​​

Développement​​

Factorisation​

Les puissances et le calcul littéral - Adjoint administratif d'Etat

1 - Apprendre le cours

A - Les puissances

B - La réduction d’expressions littérales

C - Le développement d'un produit​

​D - La factorisation

2 - Appliquer le cours

Puissances

Réduction d’expressions littérales​

Développement​

Factorisation

Puissances

Réduction d’expressions littérales​​

Développement​​

Factorisation​

C - Le développement d'un produit

D - La factorisation

Réduction d’expressions littérales

Développement

Réduction d’expressions littérales

Développement

Factorisation

C - Le développement d'un produit

D - La factorisation

Réduction d’expressions littérales

Développement

Réduction d’expressions littérales

Développement

Factorisation