Les puissances et le calcul littéral

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Les puissances peuvent être utilisées pour faciliter l’écriture de nombres très petits ou très grands. En algèbre, on peut remplacer les nombres par des lettres. L’écriture des expressions littérales se transforme à l’aide de règles.​

1 - Apprendre le cours

A - Les puissances 

Définition

Le produit d’un nombre plusieurs fois par lui-même peut s’écrire sous forme d’une puissance de la façon suivante :
n étant un nombre entier supérieur à 1,

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an se lit : « a puissance n ». On dit que a est élevé à la puissance n. Le nombre n est appelé exposant.

Par convention : a0 = 1 ; a1 = a ; a− n = 1/an (a ≠ 0).

Cas particuliers : a2 se lit « a au carré » ; a3 se lit « a au cube ».

Exemples

34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 ; l’exposant de 34 est 4.​

(− 4)3 = (− 4) × (− 4) × (− 4) = − 64 ; − 64 est le cube de − 4.

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​Les puissances de 10

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Exemples

104 = 10 000 ; 106 = 1 000 000 = 1 million ; 109 = 1 000 000 000 = 1 milliard. 

10− 3 = 0,001 = 1 millième

5 × 103 = 5 × 1 000 = 5 000 ; 7 × 10− 2 = 7 × 0,01 = 0,07

Dans un calcul, les puissances ont priorité sur les multiplications et les divisions.

B - La réduction d’expressions littérales

Réduire, c’est transformer une écriture pour la rendre plus simple.

On additionne les termes qui contiennent les mêmes lettres avec les mêmes exposants.
En l’absence de multiplication, on supprime les parenthèses.

Lorsqu’elles sont précédées d’un signe +, on les supprime sans changer les signes des termes placés dans les parenthèses.

Lorsqu’elles sont précédées d’un signe −, on les supprime en changeant les signes des termes placés dans les parenthèses.

Exemples

4x + 9x − x = 12x.

5y−8y2 +3+2y−4+y2 =−7y2 +7y−1.

(3u − 5) + (7 − 8u) + (− 4 + u) = 3u − 5 + 7 − 8u − 4 + u = − 4u − 2. 

(3a − 5) − (7 − 8a) − (− 4 + a) = 3a − 5 − 7 + 8a + 4 − a = 10a − 8.

C - Le développement d'un produit​

Développer un produit, c’est le transformer en une somme de termes.

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Le produit d'un nombre par une somme

Quels que soient les nombres relatifs a, b, k, on a : 4ea6cb17-bf4c-4bc6-8964-2cfedad22c6a

On dit que la
multiplication est distributive sur l’addition et la soustraction.

Exemple

Développer A = − 4(2x + 5) et B = x(2 − 3x). 
A = (− 4) × 2x + (− 4) × 5 = − 8x – 20.
B = x × 2 + x × (− 3x) = 2x − 3x2.

Le produit d'une somme par une somme​

Quels que soient les nombres relatifs a, b, c et d, on a :

ae721cd0-e1c0-42a5-8632-e5ed71e56a0c

Exemple

Développer et réduire E = (5x + 2)(3x + 4).

E = 5x × 3x + 5x × 4 + 2 × 3x + 2 × 4 = 15x2 + 20x + 6x + 8 = 15x2 + 26x + 8.

​D - La factorisation

Factoriser une somme, c’est la transformer en produit.

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Une des méthodes possibles pour factoriser une somme est la mise en facteur commun.

Exemples

15 + 3x = 3(5 + x) : on a mis 3 en facteur commun. 

7x2 − 14x = 7x(x − 2) : on a mis 7x en facteur commun.
(3x − 1)(x + 6) + 5(3x − 1) = (3x − 1)(x + 6 + 5) = (3x − 1)(x + 11) : on a mis (3x − 1) en facteur commun.

Méthode : Comment mettre en facteur commun ?

Énoncé
Factoriser A = (x + 3)(2x + 5) − (x + 3)(x − 7). 

Réponse

On écrit (x + 3) comme facteur commun : A = (x + 3)[(2x + 5) − (x − 7)]
​On met dans le crochet « tout ce qui reste » une fois que (x + 3) est écrit.

On réduit l’expression entre les crochets après avoir supprimé les parenthèses :

A = (x + 3)(2x + 5 − x + 7) 
A = (x + 3)(x + 12)

2 - Appliquer le cours

EXERCICES

Puissances

1. Calculer. Donner le résultat sous la forme d’une fraction lorsque c’est nécessaire. 
a. 56 ; 65 ; 0,53 ; 172 ; 1,24.
b. (− 6)4 ; − 64 ; (− 4)5 ; − 45 ; 2− 3 ; 5− 2.


2. Écrire chaque nombre sous la forme d’une puissance de 10.
a. mille = 10... ; dix mille = ... ; un million = ... ; un milliard = ...
b. un centième = ... ; un millième = ... ; un millionième = ...


3. Calculer 7,2 × 105 ; 0,04 × 106 ; 13 × 10− 5 ; 0,8 × 10− 1.

Réduction d’expressions littérales​

4. Réduire les expressions suivantes.
a.2x2 +5−3x2 +8 ;−3b+8−b−1+10b.
b. 2x2 − 7 + 3x − 8x + 5 + 4x2 ; 3v − v2 + 10 + v + 4 − 3v2

5. Supprimer les parenthèses, puis réduire. 

a.(5y−8)−(8y+3)+(−5y−3). b.2y−6+(−3y+5)−(−y−10).
c.2−8x+(1+2x2 −5x)−(x+x2 −3).

Développement​

6. Dire si les expressions suivantes sont des sommes ou des produits.
A = 4x + 6 ; B = 5(a + 3) ; C = (2x + 1)(3x + 2) ; D = 8y2 + 5y + 3 ; E = a(2b + a).

7. Développer et réduire.
a. A = 2 − 3(8 − 9x) + 4(5 − 2x) ; B = 0,4(5x + 3) − 0,2(2x − 5) ;
C = 2x(3x − 5) − 4x(2x − 7).
b. D = (x + 2)(x − 3) ; E = (4x − 5)(x − 8); F = (2x − 3)(x + 0,5) ; G = (3x − 1)(3x − 1). 

c. H = (− x + 4)(6x − 1) − 3(x2 + x − 2).

Factorisation

8. Factoriser les expressions suivantes.
A = 5x – 15y + 20 ; B = a5 + 7a3 ; C = 7x2 − 14x ; D = 28x3 + 14x2 − 7x. 

9. Factoriser les expressions suivantes.​

A = x(2x – 3) + 5(2x – 3) ; B = 2(2x + 1) + 3(2x + 1).
C = x(x + 3) – 8(x + 3) ; D = (3x – 2)(x + 4) – 5(x + 4).
E = (x − 1)(x + 1) + (x − 1)(2x + 5).
F = (2x + 3)(2x − 4) − (2x + 3)(x + 9).

CORRIGÉ

Puissances

1. a. 56 = 15 625 ; 65 = 7 776 ; 0,53 = 0,125 ; 172 = 289 ; 1,24 = 2,0736. 1 1 
b. (− 6)4 = 1 296 ; − 64 = − 1 296 ; (− 4)5 = − 1 024 ; − 45 = − 1 024 ; 2− 3 = 1/8 ; 5− 2 = 1/25 .

2. a. mille = 103 ; dix mille = 104 ; un million = 106 ; un milliard = 109
b. un centième = 10− 2 ; un millième = 10− 3 ; un millionième = 10− 6.

3. 7,2 × 105 = 720 000 ; 0,04 × 106 = 40 000 ; 13 × 10− 5 = 0,00013 ; 0,8 × 10− 1 = 0,08.

Réduction d’expressions littérales​​

4. a. 2x2 + 5 − 3x2 + 8 = − x2 + 13 ; − 3b + 8 − b − 1 + 10b = 6b + 7.
b. 2x2 − 7 + 3x − 8x + 5 + 4x2 = 6x2 − 5x – 2 ;
3v−v2 +10+v+4−3v2 =−4v2 +4v+14.


5. a. (5y − 8) − (8y + 3) + (− 5y − 3) = 5y − 8 − 8y − 3 − 5y − 3 = − 8y – 14.
b. 2y − 6 + (− 3y + 5) − (− y − 10) = 2y − 6 − 3y + 5 + y + 10 = 9.
c.2−8x+(1+2x2 −5x)−(x+x2 −3)=2−8x+1+2x2 −5x−x−x2 +3=x2 −14x+6.

Développement​​

6. A : somme ; B : produit ; C : produit ; D : somme ; E : produit.

7. a. A = 2 − 3(8 − 9x) + 4(5 − 2x) = 2 − 24 + 27x + 20 − 8x = 19x – 2.
B = 0,4(5x + 3) − 0,2(2x − 5) = 2x + 1,2 − 0,4x + 1 = 1,6x + 2,2.
C = 2x(3x − 5) − 4x(2x − 7) = 6x2 − 10x − 8x2 + 28x = − 2x2 + 18x.

b. D = (x + 2)(x − 3) = x2 − x − 6 ; E = (4x − 5)(x − 8) = 4x2 − 37x + 40.

F = (2x − 3)(x + 0,5) = 2x2 − 2x − 1,5 ; G = (3x − 1)(3x − 1) = 9x2 − 6x + 1. 

c.H=(−x+4)(6x−1)−3(x2 +x−2)=−6x2 +25x−4−3x2 −3x+6=−9x2 +22x+2.

Factorisation​

8. A = 5x – 15y + 20 = 5(x − 3y + 4) ; B = a5 + 7a3 = a3(a2 + 7) ;
C = 7x2 − 14x = 7x(x − 2) ; D = 28x3 + 14x2 − 7x = 7x(4x2 + 2x − 1).

9. A = x(2x – 3) + 5(2x – 3) = (2x − 3)(x + 5).
B = 2(2x + 1) + 3(2x + 1) = 5(2x + 1).
C = x(x + 3) – 8(x + 3) = (x + 3)(x − 8).
D = (3x – 2)(x + 4) – 5(x + 4) = (x + 4)(3x − 2 − 5) = (x + 4)(3x − 7).
E = (x − 1)(x + 1) + (x − 1)(2x + 5) = (x − 1)[(x + 1) + (2x + 5)] = (x − 1)(3x + 6).
F = (2x + 3)(2x − 4) − (2x + 3)(x + 9) = (2x + 3)[(2x − 4) − (x + 9)] = (2x + 3)(x − 13).