Les nombres relatifs

Les nombres relatifs sont des nombres positifs ou négatifs, c’est-à-dire précédés du signe + ou du signe −.

1 - Apprendre le cours

A - Définition des nombres relatifs

Un nombre précédé d’un signe + ou sans signe est un nombre positif. 

Un nombre précédé d’un signe − est un nombre négatif. 

Le nombre 0 est considéré à la fois comme positif et négatif.

Deux nombres opposés sont deux nombres qui ont la même distance à zéro et des signes différents, l’un positif, l’autre négatif.

Exemples

+ 12 ; 5,1 ; 1 ; + 0,18 ; 0 sont des nombres relatifs positifs.
− 15 ; − 1,13 ; 0 sont des nombres relatifs négatifs.
− 17,5 et − 9 sont des nombres relatifs de même signe.
− 17,5 et 1,63 sont des nombres relatifs de signes contraires. + 2,7 et − 2,7 sont des nombres opposés.

B - Addition ​des nombres relatifs

Exemples

(+2,1)+(+5)=+7,1 

(−3,5)+(−4,7)=−8,2

Pour additionner deux nombres relatifs de signes différents, on soustrait les distances à zéro et on garde le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.​

​

Exemples

(+0,7)+(−0,9)=−0,2 

(+1,2)+(−0,9)=+0,3

Dans une suite d’additions de nombres relatifs, pour simplifier une écriture, on peut supprimer :

Soustraire un nombre relatif, c’est ajouter son opposé.

Exemples

(− 3) − (+ 5) = (− 3) + (− 5) = − 8 

(− 3) − (− 5) = (− 3) + (+ 5) = + 2

​Pour calculer une suite d’additions et de soustractions, on peut modifier l’ordre des termes pour regrouper les termes positifs ensemble et les termes négatifs ensemble.

Exemple

A=−5+(+4)−(−7)−(+11)+(−15)

On commence par simplifier l’écriture : A = − 5 + 4 + 7 − 11 − 15 

On regroupe les termes de même signe : A = − 5 − 11 − 15 + 4 + 7 A=−31+11=−20

D - Multiplication des nombres relatifs

Le produit de deux nombres de même signe (c’est-à-dire tous les deux positifs, ou tous les deux négatifs) est un nombre positif.

Le produit de deux nombres de signes différents (c’est-à-dire l’un positif, l’autre
négatif) est un nombre négatif.

Dans les deux cas, la distance à zéro du produit est égale au produit des distances à
zéro de ces deux nombres.

Exemples

(+ 3) × (+ 0,4) = + 1,2 ; (− 3) × (− 0,4) = + 1,2

(+ 3) × (− 0,4) = − 1,2 ; (− 3) × (+ 0,4) = − 1,2 ; − 5 × 8 = − 40 ; 0,2 × (− 5) = − 1

Le produit de plusieurs nombres relatifs est :

Exemples

Le produit 20 × (− 4) × (− 2) × 8 × (− 3) est négatif car il y a 3 facteurs négatifs. 

Le produit (− 5) × (− 10) × 13 est positif car il y a 2 facteurs négatifs.

E - Division des nombres relatifs​

Le quotient de deux nombres de même signe (c’est-à-dire tous les deux positifs, ou tous les deux négatifs) est un nombre positif.

Le quotient de deux nombres de signes différents (c’est-à-dire l’un positif, l’autre négatif) est un nombre négatif.

Dans les deux cas, la distance à zéro du quotient est égale au quotient des distances à zéro de ces deux nombres.

La règle des signes est la même pour le produit et le quotient.

Exemples

2 - Appliquer le cours

EXERCICES

Opérations avec les relatifs

1. a. Donner trois nombres négatifs.
b. Donner deux nombres opposés.

2. Calculer :
a. (+ 2) + (+ 5) ; (− 8) − (− 10) ; (− 5) + (+ 3)
b. (+ 8) − (+ 10) ; (− 3) + (− 4) ; (+ 5) + (− 5)

3. Calculer :
a. (− 4,1) + (+ 2,5) ; (+ 2) + (− 4,8) ; 15 ÷ (− 0,3)
b. 7,8 − (− 4) ; (− 2) × (− 6) ; 7 × (− 0,1)
c. (− 2,1) − (− 6,7) ; (− 3) × 5 ; 0 × (− 4) ; (− 8) ÷ (− 10)

4. Calculer : 7,1−9;−2−13;−8+21;−5,2+4,1;−0,1−0,1;−2,4+2,4

5. Calculer x + y ; x − y ; − x + y ; − x − y pour x = − 2 et y = 5 ; puis pour x = 0,5 et y=−4,1.

6. Le tableau suivant donne les températures extrêmes observées dans différentes villes :

Pour chaque ville, calculer l’écart entre les deux températures extrêmes.

Suite d'opérations

7. Calculer :
a. 4 × (7 − 10) ; 8 − 21 × 2 + 4 ; − 3 + 2 × 5²
b. (2 + 1 × (−8))² ; (− 5)² − 2 × (− 8) ; (7 − 9) × (− 4 + 10)
c. 7 + 9 ; (− 8) × (− 1 + 4)² ; (3 − 1 × 4)² − 1 7−9
d.−7+4+9−13+1−25 e.0,2−1,15−2,3+5+1,6−9,9

8. Parmi les calculs suivants, lequel est faux ? 

A 3 + (− 5) × (− 2) = 13 B(7−2×4)×8=−8
C3−7×2+1=−12
D (− 2) × (− 7 − 3 + 10) = 0

CORRIGÉ

Opérations avec les relatifs 

1. Trois nombres négatifs : − 0,18 ; − 300 ; − 99,99.
Deux nombres opposés : − 85,1 et 85,1.

2. a. (+ 2) + (+ 5) = 2 + 5 = 7 ; (− 8) − (− 10) = − 8 + 10 = 2 ; (− 5) + (+ 3)
= − 5 + 3 = − 2.
b. (+ 8) − (+ 10) = 8 − 10 = − 2 ; (− 3) + (− 4) = − 3 − 4 = − 7 ; (+ 5) + (− 5) = 5 − 5 = 0. 

3. a. (− 4,1) + (+ 2,5) = − 4,1 + 2,5 = − 1,6 ; (+ 2) + (− 4,8) = 2 − 4,8 = − 2,8 ; 15 ÷ (− 0,3) = − 50.

b. 7,8 − (− 4) = 7,8 + 4 = 11,8 ; (− 2) × (− 6) = 12 ; 7 × (− 0,1) = − 0,7.
c. (− 2,1) − (− 6,7) = − 2,1 + 6,7 = 4,6 ; (− 3) × 5 = − 15 ; 0 × (− 4) = 0 ; (−8)÷(−10)=0,8.

4. 7,1 − 9 = − 1,9 ; − 2 − 13 = − 15 ; − 8 + 21 = 13 ; − 5,2 + 4,1 = − 1,1 ; − 0,1 − 0,1 = − 0,2 ; − 2,4 + 2,4 = 0.

5. x + y = (− 2) + 5 = 3 ; x − y = (− 2) − 5 = − 7 ; − x + y = − (− 2) + 5 = 2 + 5 = 7 ;
− x − y = − (− 2) − 5 = 2 − 5 = − 3.
x + y = 0,5 + (− 4,1) = − 3,6 ; x − y = 0,5 − (− 4,1) = 0,5 + 4,1 = 4,6 ;
− x + y = − 0,5 + (− 4,1) = − 4,6 ; − x − y = − 0,5 − (− 4,1) = − 0,5 + 4,1 = 3,6.

6. Athènes : 39° ; Budapest : 32° ; Dakar : 40° ; Québec : 54° ; Paris : 31°.

Suite d'opérations​

7. a. 4 × (7 − 10) = 4 × (− 3) = − 12 ; 8 − 21 × 2 + 4 = 8 − 42 + 4 = 12 − 42 = − 30.
− 3 + 2 × 5² = − 3 + 2 × 25 = − 3 + 50 = 47.

b. (2 + 1 × (−8))² = (2 − 8)² = (− 6)² = 36 ; 
(− 5)² − 2 × (− 8) = 25 + 16 = 41 ; 
(7 − 9) × (− 4 + 10) = (− 2) × 6 = − 12.

c. 

(3 − 1 × 4)² − 1 = (3 − 4)² − 1 = (− 1)² − 1= 1 − 1 = 0.

d. − 7 + 4 + 9 − 13 + 1 − 25 = − 7 − 13 − 25 + 4 + 9 + 1 = − 45 + 14 = − 31.

e. 0,2 − 1,15 − 2,3 + 5 + 1,6 − 9,9 = 0,2 + 5 + 1,6 − 1,15 − 2,3 − 9,9 = 6,8 − 13,35 = − 6,55.

8. Le calcul C est faux. Il y a priorité à la multiplication.
3 − 7 × 2 + 1 = 3 − 14 + 1 = 4 − 14 = − 10.