Pour résoudre certains problèmes, il faut utiliser une méthode dite « algébrique » qui nécessite la résolution d’équations ou d’inéquations.
1 - Apprendre le cours
A - Les équations du 1er degré à une inconnue
1) Définition
Une équation à une inconnue est une égalité où figure une lettre dont on ne connaît pas la valeur.
Résoudre une équation, c’est trouver la ou les valeurs de l’inconnue pour lesquelles l’égalité est vraie. Ce sont les solutions de l’équation.
Exemple
L’équation 7x − 1 = 2x + 9 est une équation à une inconnue x.
Le nombre 2 est solution de cette équation car 7 × 2 − 1 = 13 et 2 × 2 + 9 = 13.
2) Propriétés
Lorsque l’on ajoute ou lorsque l’on retranche un même nombre à chaque membre d’une égalité, on obtient une nouvelle égalité.
a, b et c désignent des nombres relatifs. Si a = b, alors a + c = b + c et a − c = b − c.
Exemple
x désigne un nombre relatif.
Si x − 8 = − 3, alors x − 8 + 8 = − 3 + 8. On obtient donc x = 5.
Lorsque l’on multiplie ou lorsque l’on divise chaque membre d’une égalité par un même nombre non nul, on obtient une nouvelle égalité.
Exemple
x désigne un nombre relatif. Si − 8x = 16, alors :
On a donc x = − 2.
3) Résolution d’une équation du 1er degré
Pour résoudre une équation du 1er degré :
- on développe, puis on réduit chaque membre ;
- on groupe les termes contenant l’inconnue dans un membre, les autres termes dans l’autre ;
- on réduit chaque membre pour obtenir une équation de la forme ax = b ;
- on divise les deux membres par a (a ≠ 0).
ExempleRésoudre l’équation 3x − 2 = 8x + 8.
On ajoute 2 et on retranche 8x dans les deux membres : 3x − 8x = 8 + 2.
D’où − 5x = 10.
On divise les deux membres par − 5 :
D’où x = − 2.
L’équation 3x − 2 = 8x + 8 a pour unique solution le nombre − 2.
B - Les inéquations du 1er degré à une inconnue
1) Définition
Une inéquation à une inconnue est une inégalité où figure une lettre dont on ne connaît pas la valeur.
Résoudre une inéquation, c’est trouver la ou les valeurs de l’inconnue pour lesquelles l’inégalité est vraie. Ce sont les solutions de l’inéquation.
Exemple
Les inéquations x + 7 > − 2 et 3x + 1 ≤ − x + 5 sont des inéquations d’inconnue x. 5 ; − 4 ; 0 sont des solutions de l’inéquation x + 7 > − 2.
2) Propriétés
a, b et c désignent trois nombres relatifs. Si a < b, alors a + c < b + c et a − c < b − c.
Exemple
Si l’on sait que x + 3 > 1, alors x + 3 − 3 > 1 − 3. Donc x > − 2.
Si l’on sait que x − 0,5 ≤ − 3, alors x − 0,5 + 0,5 ≤ − 3 + 0,5. Donc x ≤ − 2,5.
a, b et c désignent trois nombres relatifs :
- si a < b et c positif, alors a × c < b × c ;
- si a < b et c négatif, alors a × c > b × c.
La règle est la même pour la division par c ≠ 0.
Exemple
3) Résolution d’une inéquation du 1er degré
On utilise la même méthode que dans la résolution d’une équation, en faisant attention cependant au cas où il faut multiplier ou diviser les deux membres de l’inéquation par un même nombre négatif.
Exemple
Résoudre l’inéquation 3(3x − 4) + 7 ≤ 1 + 2(5x − 6). On développe, puis on réduit chaque membre.
9x−12+7≤1+10x−12.
9x−5≤10x−11.
On groupe les termes contenant l’inconnue dans un membre, les autres termes dans l’autre. Pour cela, on ajoute 5 et on retranche 10x aux deux membres :
9x − 10x ≤ 5 − 11. Donc − x ≤ (−6/−1). Donc x ≥ 6.
Les solutions sont les nombres supérieurs ou égaux à 6.
Méthode : comment résoudre un problème à l’aide d’une équation ?
Énoncé : Une somme de 97 € est partagée entre quatre personnes A, B, C et D de la manière suivante : A reçoit deux fois plus que B ; C reçoit 2 € de plus que A ; D reçoit 15 €. Calculer la somme reçue par A, B et C.
Réponse :
On indique ce que représente l’inconnue. On note x la part de B, en euros. On aurait pu faire un autre choix pour x, la part de A ou la part de C.
On exprime, en fonction de x, la part de A et C : part de A : 2 × x = 2x ; part de C : 2x + 2.
On traduit l’énoncé par une équation : part de A + part de B + part de C + part de D = 97.
2x + x + 2x + 2 + 15 = 97.
On résout l’équation obtenue : 5x + 17 = 97 ; 5x = 80 ; x = 80 ÷ 5 = 16.
On répond à la question : la part de A est 32 €, celle de B 16 € et celle de C 34 €.
Vérification : 32 + 16 + 34 + 15 = 97.
2 - Appliquer le cours
EXERCICES
Équations
1. Résoudre les équations suivantes :
a. 2x + 5 = 3 − x
b. 5x − (7 − 2x) = 8x + 9
c. 4(x − 2) = 5(x + 4)
d.
2. Marc et Aline ont 63 ans à eux deux. Marc a 5 ans de plus qu’Aline. Quel est l’âge de chacun d’eux ?
3. Marc et Aline ont 63 ans à eux deux. Marc est deux fois plus âgé qu’Aline. Quel est l’âge de chacun d’eux ?
4. Une personne dépense son salaire mensuel de la façon suivante : 1/5 pour le loyer, 35 % pour la nourriture, le reste, soit 504 €, pour les autres dépenses.
Quel est le montant du salaire ?
Inéquations
5. Parmi les nombres 2 ; 6 ; − 4 ; 0 ; − 3, lesquels sont solutions de l’inéquation 2x−1≥x−4?
6. Résoudre les inéquations suivantes :
a. 5x − 2 > 3
b.x+2≥3x
c.2x−(4+x)≤7(x+2)
d. 8 − 5(2x − 3) > x + (− 3 + 2x)
7. Un club propose, pour la location d’un court de tennis, deux formules :
- abonnement de 40 € + 8 € de l’heure ;
- sans abonnement, 11 € de l’heure.
À partir de quelle durée t (en heures), la formule d’abonnement est-elle plus avantageuse ?
8. Doriane a déjà fait quatre devoirs de français et sa moyenne est de 11,6.
Quelle note doit-elle obtenir, au minimum, au cinquième devoir pour que sa moyenne soit supérieure ou égale à 12 ? Les notes sont des nombres entiers.
CORRIGÉ
Équations
1. a. 2x + 5 = 3 − x ; 2x + x = 3 − 5 ; 3x = − 2 ; x = − 23.
b. 5x − (7 − 2x) = 8x + 9 ; 5x − 7 + 2x = 8x + 9 ; − x = 16 ; x = − 16.
c. 4(x − 2) = 5(x + 4) ; 4x − 8 = 5x + 20 ; − x = 28 ; x = − 28.
d.
2. Soit x l’âge d’Aline. L’âge de Marc est alors : x + 5.
On résout l’équation : x + x + 5 = 63. D’où x = 29. Aline a 29 ans et Marc 34 ans.
3. Soit x l’âge d’Aline. L’âge de Marc est alors : 2x. On résout l’équation : x + 2x = 63. D’où x = 21. Aline a 21 ans et Marc 42 ans.
4. Soit x le montant du salaire, en euros.
L’énoncé se traduit par l’équation : 0,2x + 0,35x + 504 = x.
0,55x + 504 = x ; 0,45x = 504 ; x = 504 ÷ 0,45 ; x = 1 120.
Le salaire est de 1 120 €.
Inéquations
5. 2 ; 6 ; 0 ; − 3 sont des solutions de l’inéquation 2x −1 ≥ x − 4.
6. a. 5x − 2 > 3 ; 5x > 5 ; x > 1.
Les solutions sont les nombres strictement supérieurs à 1.
b. x + 2 ≥ 3x ; 2 ≥ 2x ; 1 ≥ x ; x ≤ 1.
Les solutions sont les nombres inférieurs ou égaux à 1.
c. 2x − (4 + x) ≤ 7(x + 2) ; 2x − 4 − x ≤ 7x + 14 ; − 6x ≤ 18 ; x ≥ − 3.
Les solutions sont les nombres supérieurs ou égaux à − 3.
d. 8 − 5(2x − 3) > x + (− 3 + 2x) ; 8 − 10x + 15 > x − 3 + 2x ; − 10x + 23 > 3x − 3 ;
− 13x > − 26 ; x < 2. Les solutions sont les nombres inférieurs strictement à 2.
7. Soit t le nombre d’heures de location.
On résout l’inéquation 40 + 8t < 11t. D’où t > 13,3. À partir de 14 heures de location, l’abonnement est plus avantageux.
8. Soit x la note au cinquième devoir. On résout l’inéquation 4 × 11,6 + x ≥ 12 × 5. D’où x ≥ 13,6. Doriane doit avoir au minimum 14 au cinquième devoir.