Les puissances

Tout comme la multiplication peut être associée à une addition itérée, la notion de puissance peut être liée à une multiplication itérée.

I) Leçon

1) Définition

$\rightarrow$ a est un nombre réel et n est un nombre entier naturel non nul :

• si $n\geq2, a^n=\underbrace{a\times a\times a\ldots\times a}_{n\rm\ \text{facteurs égaux à}\rm\ \textit{a}}$, n est appelé exposant ;​
• si $n=0$, $a^0=1$ avec a différent de 0 et si $n=1$, $a^1=a$

$\rightarrow$ $a^n$ se lit « a exposant n ».
Lorsque $n=2$,on lit $a^2$ « a au carré » et lorsque $a=3$, on lit $a^3$ « a au cube ».
Exemple : $3^2=3\times 3=9$ ; $(-3)^2=9. -3^2=-9.$ Pour $-3^2$, l'exposant 2 ne s’applique qu’à 3.

2) Puissance d’exposant négatif

$\rightarrow$ a est un nombre réel et n est un nombre entier naturel non nul avec $n\geq1: a^{-n}=\frac {1}{a^n}$.
Exemple : $3^{-2}=\frac {1}{3^2}=\frac {1}{9}$

$\rightarrow$ Conséquence (puissance négative d’une fraction de deux nombres entiers relatifs) : $(\frac {a}{b})^{-n}=(\frac {b}{a})^{n}$. En effet, $(\frac {a}{b})^{-n}=(\frac {1} {\frac {a}{b}})^{n}=(\frac {b}{a})^{n}$.

3) Cas particulier des puissances de 10

$\rightarrow$ $10^n$ = 1 000...000 (0 écrit n fois).
$\rightarrow$ $10^{-n}$ = 0,000 001 (0 écrit n fois en comptant le 0 à gauche de la virgule).
Exemple : $10^2=100$ ; $10^5=\text{100 000}$ ; $10^{−2} = 0,01$ ; $10^{−5} = 0,00001$.

4) Calcul avec les puissances

$\rightarrow$ a et b sont des nombres réels, n et p sont des nombres entiers relatifs (positifs ou négatifs).
$\rightarrow$ $a^n\times a^p=a^{n+p}$. Exemples : $3^6\times 3^2=3^{6+2}=3^8$ ; $3^6\times 3^{-2}=3^{6-2}=3^4$
$\rightarrow$ $(a\times b)^n = a^n \times b^n$. Exemples : $(3\times 5)^2 = 3^2 \times 5^2$ ; $(-3\times 5)^2 = (-3)^2 \times 5^2$
$\rightarrow$ $(a^n)^p = a^{n\times p}$. Exemple : $(10^2)^3 = 10^{2\times 3}=10^6$
$\rightarrow$ Cas particulier des fractions
a et b sont deux nombres entiers relatifs avec b ≠ 0 ; n et p sont des nombres entiers naturels : $(\frac {a}{b})^{n} = \frac {a^n}{b^n}$ et $\frac {a^n}{a^p}=a^{n-p}$. Exemples : $(\frac {2}{3})^{2} = \frac {2^2}{3^2}=\frac{4}{9}$ ; $\frac {10^5}{10^3}=10^{5-3}=10^2=100$.

5) Effectuer une suite de calculs

Règles de priorité :
1. Quand on effectue une suite de calculs qui contient des parenthèses, on commence par les calculs dans les parenthèses.
2. Quand on effectue une suite de calculs ne contenant pas de parenthèse, on commence par effectuer les puissances, puis les multiplications (et divisions) et enfin les additions (et soustractions).
Exemples : 
$(3+4)\times (2+8)^2=7\times 10^2 = 7 \times 100 = 700$

$3+4 \times 2+8^2=3+8+64=75$

$\Rightarrow$ Effectuer un calcul comportant des puissances
Exemples : calculer : $\frac{4^2\times5^3\times(7^3)^2}{5^5\times7^2}$.

$\Rightarrow$ Effectuer une suite de calculs

Voir les règles de priorité énoncées ci-dessus.

II) Je m'entraine

1. Calculer : a. $6^2$ ; b. $6^1$ ; c. $(−5)^0$ ; d. $(−5)^4$ ; e. $−5^4$ ; f. $10^7$ ; g. $10^{−7}$ ; h. $4^{−3}$ ; i. $(−4)^{−3}$.

2. Quels calculs donnent le même résultat ? a. $7^2\times7^8$ ; b. $7^{16}$ ; c. $7^{10}$ ; d. $(7^2)^8$ ; e. $\frac{7^{12}}{7^2}$ ; f. $\frac{1}{7^{-16}}$

3. Résoudre les équations : a. $x^2=100$ ; b. $x^3= \text{-1 000}$

4. Calculer : $\frac{3^{10}\times7^{-5}\times10^{12}}{10^{10}\times3^{11}\times7^{-7}}$.

5. Calculer : a. $(3-7) \times [6-(2-7)^2]$ ; b. $5+6 \times (-2)-7\times2^3$