La maitrise du calcul algébrique suppose une bonne connaissance des propriétés relatives à la comparaison et au calcul sur les nombres réels. Elles sont rappelées dans cette fiche.

I) Leçon

1) Opposé et inverse d’un nombre réel

$a$ est un nombre réel. L’opposé de $a$ est le nombre qui ajouté à $a$ donne 0 comme résultat. $−a$ est donc l’opposé de $a$ .

Exemple : $−2,7$ est l’opposé de $2,7$ et $2,7$ est l’opposé de $−2,7$ .

Attention :
$−a$ ne désigne pas forcément un nombre négatif. Si $a = −2,7$ , alors $−a = −(−2,7) = 2,7$ (qui estun nombre positif). D’une façon générale, si $a > 0$ alors $−a < 0$ et si $a < 0$ , alors $−a > 0$ .

$a$ est un nombre réel non nul. L’inverse de $a$ est le nombre qui multiplié par $a$ donne $1$ comme résultat. $\frac{1}{a}$ est donc l’inverse de $a$ .

Exemple : $\frac{1}{3}$ est l’inverse de $3$ et $3$ est l’inverse de $\frac{1}{3}$ . Cela correspond aussi au fait que $\frac{1}{\frac{1}{3}} = 3$ .

2) Distance d'un nombre à $0$

Soit $a$ un nombre réel :

si $a \geq 0$ , la distance de $a$ à $0$ est égale à $a$ ;
si $a < 0$ , la distance de $a$ à $0$ est égale à $−a$ .

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La distance de $3$ à $0$ et de $−3$ à $0$ est égale à $3$ .

3) Addition et multiplication

A) Somme de deux nombres réels $a$ et $b$

Si $a$ et $b$ sont de même signe, leur somme a le même signe et sa distance à $0$ est la somme de leurs distances à $0$ .

Exemple : $(−5) + (−3) = (−8)$ ; on écrit aussi $−5 + (−3) = −8$ ou $−5 − 3 = −8$ .

Si $a$ et $b$ sont de signes contraires, leur somme a le même signe que celui qui a la plus grande distance à $0$ et sa distance à $0$ est la différence de leurs distances à $0$ .

Exemple : $(−5) + (3) = (−2)$ ; on écrit aussi $(−5) + 3 = −2$ ou $−5 + 3 = −2$ .

B) Produit de deux nombres réels $a$ et $b$

Si $a$ et $b$ sont de même signe, leur produit est positif et sa distance à $0$ est le produit de leurs distances à $0$ .

Exemple : $(−5) \times (−3) = (+15)$ ; on écrit aussi $(−5) \times (−3) = 15$ .

Si $a$ et $b$ sont de signes contraires, leur produit est négatif et sa distance à $0$ est le produit de leurs distances à $0$ .

Exemple : $(−5) \times (+3) = (−15)$ ; on écrit aussi $(−5) \times 3 = −15$ ou $−5 \times 3 = −15$ .

Dans l’ensemble des nombres réels :
- soustraire $b$ de $a$ revient à ajouter l’opposé de $b$ à $a$ : $a − b = a + (−b)$ ;
- diviser $a$ par $b$ (avec $b ≠ 0$ ) revient à multiplier $a$ par l’inverse de $b$ : $a : b = a \times \frac{1}{b} = \frac{a}{b}$ .

C) Propriétés de l’addition et de la multiplication

Dans la suite, $a$ , $b$ et $c$ sont des nombres réels.

L’addition et la multiplication sont :

commutatives : $a + b = b + a$ et $a \times b = b \times a$ ;
associatives : $a + (b + c) = (a+b) + c = a + b + c$ et $a \times(b \times c) = (a \times b) \times c = a \times b \times c$ ;
munies d’un élément neutre ( $0$ pour l’addition, $1$ pour la multiplication) : $a + 0 = 0 + a = a$ ; $a \times1 = 1 \times a = a$ .

De plus, la multiplication est :

munie d’un élément absorbant : $(0) : a \times 0 = 0 \times a = 0$ ;
distributive sur l’addition : $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$ .

4) Ordre et addition

$a$ , $b$ , $c$ et $d$ sont des nombres réels :

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5) Ordre et multiplication

$a$ , $b$ et $c$ sont des nombres réels :

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L’ordre est inversé lorsqu’on multiplie par un nombre négatif.

Cas particulier : $a$ et $b$ sont des nombres réels : si $a \leq b$ , alors $−a \geq −b$ (on multiplie chaque nombre par $−1$ ).

Exemple : $3 < 7$ et $−3 > −7$

Le passage aux opposés s’accompagne d’un changement de sens de l’inégalité.

II) Ce qu'il faut savoir faire

➢ Utiliser les propriétés relatives aux opérations et à l’ordre sur les nombres réels pour faire des raisonnements ou traiter des calculs

III) Je m'entraîne

1. Quels sont les inverses et les opposés de $7$ ; $-7$ ; $\frac{1}{7}$ ; $-\frac{3}{4}$ ; $\pi$ .

2. Calculer : a. $5 + (−7)$ ; b. $(−5) − (−7)$ ; c. $\pi - \left (-\frac{\pi}{4} \right ) - \frac{\pi}{2}$

3. Calculer : a. $5 \times (−7)$ ; b. $(−5) \times (−7)$ ; c. $\pi : \left (-\frac{\pi}{4} \right )$

4. On sait que $a > b$ . Compléter : a. $−a\ldots−b$ ; b. $a + 5 \ldots b + 5$ ; c. $a − 5 \ldots b − 5$ ; d. $(−3) \times a \ldots (−3) \times b$ ; e. $- \frac{a}{5} \ldots - \frac{b}{5}$

La maitrise du calcul algébrique suppose une bonne connaissance des propriétés relatives à la comparaison et au calcul sur les nombres réels. Elles sont rappelées dans cette fiche.

I) Leçon

1) Opposé et inverse d’un nombre réel

$a$ est un nombre réel. L’opposé de $a$ est le nombre qui ajouté à $a$ donne 0 comme résultat. $−a$ est donc l’opposé de $a$ .

Exemple : $−2,7$ est l’opposé de $2,7$ et $2,7$ est l’opposé de $−2,7$ .

Attention :
$−a$ ne désigne pas forcément un nombre négatif. Si $a = −2,7$ , alors $−a = −(−2,7) = 2,7$ (qui estun nombre positif). D’une façon générale, si $a > 0$ alors $−a < 0$ et si $a < 0$ , alors $−a > 0$ .

$a$ est un nombre réel non nul. L’inverse de $a$ est le nombre qui multiplié par $a$ donne $1$ comme résultat. $\frac{1}{a}$ est donc l’inverse de $a$ .

Exemple : $\frac{1}{3}$ est l’inverse de $3$ et $3$ est l’inverse de $\frac{1}{3}$ . Cela correspond aussi au fait que $\frac{1}{\frac{1}{3}} = 3$ .

2) Distance d'un nombre à $0$

Soit $a$ un nombre réel :

si $a \geq 0$ , la distance de $a$ à $0$ est égale à $a$ ;
si $a < 0$ , la distance de $a$ à $0$ est égale à $−a$ .

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La distance de $3$ à $0$ et de $−3$ à $0$ est égale à $3$ .

3) Addition et multiplication

A) Somme de deux nombres réels $a$ et $b$

Si $a$ et $b$ sont de même signe, leur somme a le même signe et sa distance à $0$ est la somme de leurs distances à $0$ .

Exemple : $(−5) + (−3) = (−8)$ ; on écrit aussi $−5 + (−3) = −8$ ou $−5 − 3 = −8$ .

Si $a$ et $b$ sont de signes contraires, leur somme a le même signe que celui qui a la plus grande distance à $0$ et sa distance à $0$ est la différence de leurs distances à $0$ .

Exemple : $(−5) + (3) = (−2)$ ; on écrit aussi $(−5) + 3 = −2$ ou $−5 + 3 = −2$ .

B) Produit de deux nombres réels $a$ et $b$

Si $a$ et $b$ sont de même signe, leur produit est positif et sa distance à $0$ est le produit de leurs distances à $0$ .

Exemple : $(−5) \times (−3) = (+15)$ ; on écrit aussi $(−5) \times (−3) = 15$ .

Si $a$ et $b$ sont de signes contraires, leur produit est négatif et sa distance à $0$ est le produit de leurs distances à $0$ .

Exemple : $(−5) \times (+3) = (−15)$ ; on écrit aussi $(−5) \times 3 = −15$ ou $−5 \times 3 = −15$ .

Dans l’ensemble des nombres réels :
- soustraire $b$ de $a$ revient à ajouter l’opposé de $b$ à $a$ : $a − b = a + (−b)$ ;
- diviser $a$ par $b$ (avec $b ≠ 0$ ) revient à multiplier $a$ par l’inverse de $b$ : $a : b = a \times \frac{1}{b} = \frac{a}{b}$ .

C) Propriétés de l’addition et de la multiplication

Dans la suite, $a$ , $b$ et $c$ sont des nombres réels.

L’addition et la multiplication sont :

commutatives : $a + b = b + a$ et $a \times b = b \times a$ ;
associatives : $a + (b + c) = (a+b) + c = a + b + c$ et $a \times(b \times c) = (a \times b) \times c = a \times b \times c$ ;
munies d’un élément neutre ( $0$ pour l’addition, $1$ pour la multiplication) : $a + 0 = 0 + a = a$ ; $a \times1 = 1 \times a = a$ .

De plus, la multiplication est :

munie d’un élément absorbant : $(0) : a \times 0 = 0 \times a = 0$ ;
distributive sur l’addition : $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$ .

4) Ordre et addition

$a$ , $b$ , $c$ et $d$ sont des nombres réels :

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5) Ordre et multiplication

$a$ , $b$ et $c$ sont des nombres réels :

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L’ordre est inversé lorsqu’on multiplie par un nombre négatif.

Cas particulier : $a$ et $b$ sont des nombres réels : si $a \leq b$ , alors $−a \geq −b$ (on multiplie chaque nombre par $−1$ ).

Exemple : $3 < 7$ et $−3 > −7$

Le passage aux opposés s’accompagne d’un changement de sens de l’inégalité.

II) Ce qu'il faut savoir faire

➢ Utiliser les propriétés relatives aux opérations et à l’ordre sur les nombres réels pour faire des raisonnements ou traiter des calculs

III) Je m'entraîne

1. Quels sont les inverses et les opposés de $7$ ; $-7$ ; $\frac{1}{7}$ ; $-\frac{3}{4}$ ; $\pi$ .

2. Calculer : a. $5 + (−7)$ ; b. $(−5) − (−7)$ ; c. $\pi - \left (-\frac{\pi}{4} \right ) - \frac{\pi}{2}$

3. Calculer : a. $5 \times (−7)$ ; b. $(−5) \times (−7)$ ; c. $\pi : \left (-\frac{\pi}{4} \right )$

Nombres réels : comparaison et calcul

I) Leçon

1) Opposé et inverse d’un nombre réel

2) Distance d'un nombre à $0$

3) Addition et multiplication

A) Somme de deux nombres réels $a$ et $b$

B) Produit de deux nombres réels $a$ et $b$

C) Propriétés de l’addition et de la multiplication

4) Ordre et addition

5) Ordre et multiplication

II) Ce qu'il faut savoir faire

➢ Utiliser les propriétés relatives aux opérations et à l’ordre sur les nombres réels pour faire des raisonnements ou traiter des calculs

III) Je m'entraîne

Nombres réels : comparaison et calcul

I) Leçon

1) Opposé et inverse d’un nombre réel

2) Distance d'un nombre à $0$

3) Addition et multiplication

A) Somme de deux nombres réels $a$ et $b$

B) Produit de deux nombres réels $a$ et $b$

C) Propriétés de l’addition et de la multiplication

4) Ordre et addition

5) Ordre et multiplication

II) Ce qu'il faut savoir faire

➢ Utiliser les propriétés relatives aux opérations et à l’ordre sur les nombres réels pour faire des raisonnements ou traiter des calculs

III) Je m'entraîne

Nombres réels : comparaison et calcul

I) Leçon

1) Opposé et inverse d’un nombre réel

2) Distance d'un nombre à 000

3) Addition et multiplication

A) Somme de deux nombres réels aaa et bbb

B) Produit de deux nombres réels aaa et bbb

C) Propriétés de l’addition et de la multiplication

4) Ordre et addition

5) Ordre et multiplication

II) Ce qu'il faut savoir faire

➢ Utiliser les propriétés relatives aux opérations et à l’ordre sur les nombres réels pour faire des raisonnements ou traiter des calculs

III) Je m'entraîne

Nombres réels : comparaison et calcul

I) Leçon

1) Opposé et inverse d’un nombre réel

2) Distance d'un nombre à 000

3) Addition et multiplication

A) Somme de deux nombres réels aaa et bbb

B) Produit de deux nombres réels aaa et bbb

C) Propriétés de l’addition et de la multiplication

4) Ordre et addition

5) Ordre et multiplication

II) Ce qu'il faut savoir faire

➢ Utiliser les propriétés relatives aux opérations et à l’ordre sur les nombres réels pour faire des raisonnements ou traiter des calculs

III) Je m'entraîne

2) Distance d'un nombre à $0$

A) Somme de deux nombres réels $a$ et $b$

B) Produit de deux nombres réels $a$ et $b$

2) Distance d'un nombre à $0$

A) Somme de deux nombres réels $a$ et $b$

B) Produit de deux nombres réels $a$ et $b$