Les racines carrées

La notion de racine carrée permet d’exprimer certains nombres réels, non rationnels. Par exemple, le nombre qui exprime la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1 est $\sqrt{2}$​

I) La leçon

1) Définition 

$a$ est un nombre réel positif.

$\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré est égal à $a$. $\sqrt{a}$ se lit « racine carrée de $a$ ».

Donc $(\sqrt{a})^2=a$.

Attention : Le nombre placé sous $\sqrt{}$ est toujours positif et le nombre $\sqrt{a}$ est lui aussi positif.

Exemple: $\sqrt{36}=6$ ; $\sqrt{100}=10$ ; $\sqrt{1,21}=1,1$ ; $\sqrt{0}=0$

L’équation $x^2=a$ (avec $a$ ≥ 0) possède deux solutions : $\sqrt{a}$ et $\sqrt{-a}$.

Ainsi, $x^2=2$  possède deux solutions : 2 et − 2 .

Un carré parfait est un nombre qui est égal au carré d’un nombre entier. Sa racine carrée est donc un nombre entier naturel. Ainsi, 36, 100, 0 sont des carrés parfaits. Leurs racines carrées sont respectivement : 6, 10 et 0.

​2) Calcul avec les racines carrées

Conséquence : pour $a$ nombre réel positif ou nul, $\sqrt{a^2}=a$. En effet, $\sqrt{a^2}=(\sqrt{a})^2=a$.

Exemple : $\sqrt{7^2}=(\sqrt{7})^2=7$