La notion de racine carrée permet d’exprimer certains nombres réels, non rationnels. Par exemple, le nombre qui exprime la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1 est $\sqrt{2}$ 

I) La leçon

1) Définition

$a$ est un nombre réel positif.

$\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré est égal à $a$ . $\sqrt{a}$ se lit « racine carrée de $a$ ».

Donc $(\sqrt{a})^2=a$ .

Attention : Le nombre placé sous $\sqrt{}$ est toujours positif et le nombre $\sqrt{a}$ est lui aussi positif.

Exemple: $\sqrt{36}=6$ ; $\sqrt{100}=10$ ; $\sqrt{1,21}=1,1$ ; $\sqrt{0}=0$

L’équation $x^2=a$ (avec $a$ ≥ 0) possède deux solutions : $\sqrt{a}$ et $\sqrt{-a}$ .
Ainsi, $x^2=2$ possède deux solutions : 2 et − 2 .

Un carré parfait est un nombre qui est égal au carré d’un nombre entier. Sa racine carrée est donc un nombre entier naturel. Ainsi, 36, 100, 0 sont des carrés parfaits. Leurs racines carrées sont respectivement : 6, 10 et 0.

2) Calcul avec les racines carrées

82c10064-8985-47e5-877c-99442119c491

Conséquence : pour $a$ nombre réel positif ou nul, $\sqrt{a^2}=a$ . En effet, $\sqrt{a^2}=(\sqrt{a})^2=a$ .

Exemple : $\sqrt{7^2}=(\sqrt{7})^2=7$

En général, $\sqrt{a+b}\ne\sqrt{a}+\sqrt{b}$ . Exemple : $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}$ et $\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$
Ou encore $\sqrt{a^2+b^2}\ne{a}+{b}$
On peut reprendre l’exemple précédent : $\sqrt{9+16}=\sqrt{3^2+4^2}=5$ (alors que $3+4=7$ ).

II) Ce qu'il faut savoir faire

Trouver l’expression simplifiée d’une racine carrée

Exemple : simplifier $\sqrt{160}$

a6dd8a94-b577-4600-8fa5-0c7791244e3e

Effectuer un calcul comportant des racines carrées

Exemple : calculer $\sqrt{50}+7\sqrt{2}$

6082d7dd-32b8-4f49-9689-7b9d46ed7aa9

III) Je m'entraine

1.Calculer si c’est possible :

a. $\sqrt{64}$ ;

b. $\sqrt{1}$ ;

c. $\sqrt{-16}$ ;

d. $-\sqrt{144}$ .

2. Donner une expression simplifiée de $\sqrt{98}$ et $\sqrt{125}$

3. Calculer si c'est possible :

a. $\sqrt{13^2}$

b. $\sqrt{(-7)^2}$

c. $(\sqrt{13})^2$

4. Simplifier :

a. $\sqrt{18}+\sqrt{32}$

b. $\sqrt{45}-\sqrt{63}$

c. $2\sqrt{12}-5\sqrt{27}+\sqrt{108}$

La notion de racine carrée permet d’exprimer certains nombres réels, non rationnels. Par exemple, le nombre qui exprime la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1 est $\sqrt{2}$ 

I) La leçon

1) Définition

$a$ est un nombre réel positif.

$\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré est égal à $a$ . $\sqrt{a}$ se lit « racine carrée de $a$ ».

Donc $(\sqrt{a})^2=a$ .

Attention : Le nombre placé sous $\sqrt{}$ est toujours positif et le nombre $\sqrt{a}$ est lui aussi positif.

Exemple: $\sqrt{36}=6$ ; $\sqrt{100}=10$ ; $\sqrt{1,21}=1,1$ ; $\sqrt{0}=0$

L’équation $x^2=a$ (avec $a$ ≥ 0) possède deux solutions : $\sqrt{a}$ et $\sqrt{-a}$ .
Ainsi, $x^2=2$ possède deux solutions : 2 et − 2 .

2) Calcul avec les racines carrées

82c10064-8985-47e5-877c-99442119c491

Conséquence : pour $a$ nombre réel positif ou nul, $\sqrt{a^2}=a$ . En effet, $\sqrt{a^2}=(\sqrt{a})^2=a$ .

Exemple : $\sqrt{7^2}=(\sqrt{7})^2=7$

En général, $\sqrt{a+b}\ne\sqrt{a}+\sqrt{b}$ . Exemple : $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}$ et $\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$
Ou encore $\sqrt{a^2+b^2}\ne{a}+{b}$
On peut reprendre l’exemple précédent : $\sqrt{9+16}=\sqrt{3^2+4^2}=5$ (alors que $3+4=7$ ).

II) Ce qu'il faut savoir faire

Trouver l’expression simplifiée d’une racine carrée

Exemple : simplifier $\sqrt{160}$

a6dd8a94-b577-4600-8fa5-0c7791244e3e

Effectuer un calcul comportant des racines carrées

Exemple : calculer $\sqrt{50}+7\sqrt{2}$

6082d7dd-32b8-4f49-9689-7b9d46ed7aa9

III) Je m'entraine

1.Calculer si c’est possible :

a. $\sqrt{64}$ ;

b. $\sqrt{1}$ ;

c. $\sqrt{-16}$ ;

d. $-\sqrt{144}$ .

2. Donner une expression simplifiée de $\sqrt{98}$ et $\sqrt{125}$

3. Calculer si c'est possible :

a. $\sqrt{13^2}$

b. $\sqrt{(-7)^2}$

c. $(\sqrt{13})^2$

4. Simplifier :

a. $\sqrt{18}+\sqrt{32}$

b. $\sqrt{45}-\sqrt{63}$

c. $2\sqrt{12}-5\sqrt{27}+\sqrt{108}$

Les racines carrées

I) La leçon

1) Définition

2) Calcul avec les racines carrées

II) Ce qu'il faut savoir faire

Trouver l’expression simplifiée d’une racine carrée

Effectuer un calcul comportant des racines carrées

III) Je m'entraine

Les racines carrées

I) La leçon

1) Définition

2) Calcul avec les racines carrées

II) Ce qu'il faut savoir faire

Trouver l’expression simplifiée d’une racine carrée

Effectuer un calcul comportant des racines carrées

III) Je m'entraine

Les racines carrées

I) La leçon

1) Définition

​2) Calcul avec les racines carrées

II) Ce qu'il faut savoir faire

Trouver l’expression simplifiée d’une racine carrée

Effectuer un calcul comportant des racines carrées

III) Je m'entraine

Les racines carrées

I) La leçon

1) Définition

​2) Calcul avec les racines carrées

II) Ce qu'il faut savoir faire

Trouver l’expression simplifiée d’une racine carrée

Effectuer un calcul comportant des racines carrées

III) Je m'entraine

2) Calcul avec les racines carrées

2) Calcul avec les racines carrées