Le champ additif regroupe l’addition et la soustraction. Ces opérations sont étudiées à partir de problèmes qui contribuent à leur donner du sens. À l’école, plusieurs types de calculs sont abordés pour pouvoir résoudre les problèmes.
I. Les différentes catégories de problèmes additifs
Gérard Vergnaud a établi une typologie avec quatre catégories de problèmes additifs. Elle permet aux enseignants de diversifier les types de problèmes proposés aux élèves.
A. Catégorie 1 : composition de deux états
Elle concerne les situations qui portent sur trois grandeurs où deux d’entre elles se composent pour donner la troisième.
Exemple : Recherche du composé → « J’ai mangé 2 poires et 1 pomme. Combien de fruits ai-je mangés ? ».
B. Catégorie 2 : transformation d’un état
Un état initial subit une transformation pour aboutir à un état final. La transformation peut être positive ou négative.
Exemple : Recherche de l’état final → « Antoine a 2 cartes. Camille lui en donne 3. Combien en a-t-il maintenant ? ».
C. Catégorie 3 : comparaison d’états
Deux états sont comparés. Dans ce type de problème, on trouve presque toujours les expressions « de plus/de moins ».
Exemple : Recherche de la comparaison → « Léa a 25 perles. Thomas en a 10. Combien Léa en a-t-elle de plus que Thomas ? ».
D. Catégorie 4 : composition de transformations
Ce type de problème implique deux opérations successives. La transformation est positive ou négative.
Exemple : Recherche de la transformation composée → « Justine a joué à deux parties de cartes. À la première partie, elle a gagné 11 cartes et à la deuxième, elle en a gagné 4. Combien en a-t-elle gagné au total ? ».
II. Les différents types de calculs
Pour calculer des sommes et des différences, et ainsi pouvoir résoudre les différents types de problèmes étudiés, il est nécessaire de maîtriser plusieurs types de calculs.
Surcomptage (en avant) et décomptage (en arrière) en maternelle.
Calcul mental automatisé : il fait appel à la mémorisation, le résultat est connu par cœur. Il nécessite de connaître et d’utiliser les tables d’addition et les compléments à dix.
Calcul mental réfléchi : il n’est pas automatisé, il faut donc s’appuyer sur sa connaissance des nombres et sur les propriétés mathématiques des opérations. Il existe plusieurs types de calcul mental réfléchi :
Calcul en ligne : l’écrit est utilisé comme support de calcul mais sans poser les opérations en colonnes.
Calcul posé : les techniques opératoires des additions et des soustractions sont utilisées.
À SAVOIR
La difficulté d’un problème ne vient pas de l’opération en jeu mais plutôt de la structure du problème et des relations entre les éléments de la situation. La place de la valeur de l’inconnue (celle qui est à chercher) modifie notamment la difficulté d’un problème.