La multiplication

L’apprentissage de la multiplication débute au cycle 2 et se poursuit au cycle 3 en approfondissant notamment l’acquisition de la technique opératoire.

I. Les programmes

L’étude de la multiplication débute à partir de problèmes qui contribuent à lui donner du sens. Au CE2, les élèves apprennent la technique de calcul posé de la multiplication. Cet apprentissage se fait et s’entretient tout au long de l’année, d’abord en apprenant à multiplier un nombre à deux chiffres par un nombre à un chiffre, puis en multipliant des nombres plus grands.

Au CM1, les élèves renforcent leur maîtrise de la multiplication posée de deux nombres entiers. Au CM2, ils apprennent l’algorithme de la multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier.

II. La progression de l’enseignement de la multiplication

Entrée dans la multiplication par des problèmes à résoudre sans utiliser l’opération, sans avoir la technique opératoire (utilisation d’un dessin et dénombrement par comptage ou addition itérée).

Introduction du symbole :

– par l’addition itérée d’un même terme en grande quantité ($51\times7$, on écrit 51 fois le 7) : elle est pénible et longue à écrire pour les élèves. Elle permet d’expliquer qu’il y a une courte écriture qui permet de remplacer leur longue écriture.

Exemple : « $51\times7$ » remplace « 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + ... + 7 ».

– par l’utilisation d’un quadrillage : par exemple, l’écriture $3\times5$ désigne le nombre de carreaux dans un rectangle de 3 carreaux par 5 carreaux. Cela permet de montrer l’équivalence entre $3\times5$ et $5\times3$ (3 colonnes de 5 cases ou 5 lignes de 3 cases).

Apprentissage des tables de multiplication.

Enseignement de la technique opératoire : il faut d’abord passer de la multiplication isolée comme $2\times7=14$, à celle de dizaines comme $2\times70=140$, pour faire comprendre la règle des zéros et l’associativité de la multiplication et arriver à : $2\times70=2\times7\times10=14\times10=140$. Il faut ensuite utiliser du matériel de numération, le calcul mental et le calcul en ligne pour étudier la multiplication sans retenue d’un nombre à deux chiffres par un nombre à un chiffre, apprendre à organiser les calculs en colonnes, étudier la multiplication avec retenues puis étudier le produit de deux nombres à deux chiffres. La multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier vient ensuite.

Résolution de problèmes avec des quantités plus importantes en utilisant la multiplication posée.

L’apprentissage de la multiplication se fait de manière progressive et sur un temps long.

III. La multiplication posée

A. Les connaissances sous-jacentes à la technique de la multiplication posée

Il existe plusieurs connaissances et compétences préalables à l’apprentissage de la technique de la multiplication posée :

• les produits des tables de multiplication doivent être disponibles rapidement et bien mémorisés ;

• la décomposition des nombres en fonction de leur écriture en base dix doit être maîtrisée $(378=300+70+8)$;

• le repérage de la valeur des chiffres en fonction de leur position dans l’écriture d’un nombre est indispensable pour une bonne gestion des retenues ;

• les élèves doivent être capables de remplacer un produit par une somme de produits en utilisant les propriétés de la distributivité de la multiplication sur l’addition :

– $658\times908=658\times(900+8)=658\times900+658\times8$;

– et de l’associativité de la multiplication $674\times300=674\times3\times100=(674\times100)\times3$.

• les élèves doivent connaître la règle des zéros (comment multiplier par 10 ou par 100) ;

Exemple : Savoir comment passer de $7\times2=14$ à $7\times20=140$.

– les élèves doivent prendre conscience de la commutativité de la multiplication $(\text{a}\times\text{b}=\text{b}\times\text{a})$.

B. La technique opératoire de la multiplication d’un nombre à deux chiffres par un nombre à un chiffre

C. Les causes des difficultés rencontrées par les élèves

Les difficultés rencontrées par les élèves sont dues à :
– la mauvaise mémorisation des tables de multiplication ;
– la mauvaise gestion des retenues ;
– l’ordre des calculs non respecté ;
– l’oubli du « décalage » qui correspond à l’existence d’un zéro.

À SAVOIR

Les tables de multiplication s’apprennent généralement dans l’ordre suivant : tables de 2, de 5, de 4, de 8, de 3, de 6, de 9 et de 7.