La proportionnalité - Les échelles

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Les grandeurs proportionnelles sont au cœur de notre vie quotidienne : calculs de prix, de vitesses, d’échelles. Elles sont aussi une source presque inépuisable d’exercices et problèmes...​

1 - Apprendre le cours

A - Tableau de proportionnalité

Un tableau est un tableau de proportionnalité si les nombres de la deuxième ligne s’obtiennent en multipliant les nombres de la première ligne par un même nombre. Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité.

Exemple

Une commune accorde une subvention à certaines associations en appliquant le barème suivant.

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Ce tableau est un tableau de proportionnalité. Le nombre 22 est son coefficient de proportionnalité. Il représente le montant de la subvention accordée pour un adhérent.

Le nombre d’adhérents et le montant de la subvention sont des grandeurs proportionnelles.

B - La proportionnalité et la règle de trois

1) Produits en croix égaux

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Si on connaît 3 des 4 nombres précédents, cette propriété permet de calculer le quatrième à l’aide d’une règle de trois.

Exemple

8f34078a-8c70-4619-b84f-a7b0e2ac8ab1

2) Règle de trois

Dans un tableau de proportionnalité de 2 lignes et 2 colonnes, les produits en croix sont égaux.

Exemple

Un robinet débite 45 litres en 4 minutes. Calculer le nombre de litres débités en 22 minutes si le débit du robinet reste le même.

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C - Proportionnalité ou non ? 

Avant d’écrire une règle de trois pour résoudre un problème, il faut s’assurer qu’on est dans une situation de proportionnalité. Pour cela, différentes possibilités :

  • l’énoncé indique que les grandeurs sont proportionnelles ;​
  • on se pose la question : si l’une des grandeurs double, est-ce que l’autre double aussi ? Si la réponse est non, les 2 grandeurs ne sont pas proportionnelles ;
  • on regarde si le prix unitaire (ou plus généralement la quantité unitaire) est le même dans tous les cas.

Exemple

Voici les tarifs affichés à une gare de péage d’autoroute : ville A : 65 km, 6 € ; ville B : 115 km, 9,70 € ; ville C : 228 km, 16,32 €.

Peut-on calculer le péage pour une distance de 100 km à partir de ces tarifs ?

On regarde si le prix au km est le même dans les 3 cas pour voir s’il y a proportionnalité entre le prix et la distance parcourue.

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Le prix au km n’est pas le même. Le péage n’est pas proportionnel à la distance. On ne peut donc pas calculer le péage pour une distance de 100 km à partir des tarifs affichés.

​D - L'échelle d'une carte ou d'un plan

Si l’échelle d’un plan est égale à 1/ r , cela signifie que 1 cm sur le plan représente r cm dans la réalité. Lorsqu’un plan est réalisé à l’échelle 1/r , les dimensions sur le plan sont proportionnelles aux dimensions réelles.

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Exemple

Le plan d’une maison est à l’échelle 1/80 . Cela signifie que 1 cm sur le plan représente 80 cm dans la réalité. Les dimensions réelles sont 80 fois plus grandes que les dimensions sur le plan.

La longueur réelle de la maison est 12 m, soit 1 200 cm. Sa longueur sur le plan est : 1 200 ÷ 80 = 15 cm.
La largeur de la maison sur le plan est 10 cm. Sa largeur réelle est 10 × 80 = 800cm=8m.


Méthode : comment écrire une règle de trois ?

Énoncé : Il faut semer 1,2 kg de graines de gazon pour ensemencer une superficie de 30 m2. La masse de graines est proportionnelle à la superficie du terrain.
a. Quelle masse de gazon faut-il semer sur un terrain de 105 m2 ?
b. Quelle est la superficie d’un terrain sur lequel on a semé 2 kg de graines ?

Réponse : 
a. On schématise l’énoncé : 
1,2kg => 30 m2
? => 105 m2

On trace la diagonale entre 2 termes connus : 641e2081-7865-4eda-820c-379b132e98e6

On effectue le produit en diagonale et on divise par le terme restant. On obtient la règle de trois : (1,2 x 105) / 30. 
On calcule : (1,2x105) /30 = 4,2
Il faut 4,2 kg de graines pour ensemencer 105 m2.

b. On schématise l'énoncé : 3ced2bb3-c716-428b-ae69-3a727b05f4ea
On écrit la règle de trois et on calcule : (2 x 30) / 1,2 = 50.
On peut ensemencer 50 m2 avec 2 kg de graines.


Appliquer le cours

EXERCICES

Tableau de proportionnalité

1. Le prix payé à la pompe pour diverses quantités d’essence est indiqué dans le tableau suivant :

b3f41951-048d-4c98-8ce8-bfe8a9947e97

Ce tableau est-il un tableau de proportionnalité ?

2. Compléter le tableau pour que ce soit un tableau de proportionnalité :

f229b53e-3451-41bf-a3b7-71327745481c

Proportionnalité ou non ?​

3. Une fillette pèse 27 kg à 5 ans. Peut-on calculer son poids à 10 ans ?


4. Il faut 50 g de riz par personne pour préparer un plat. Peut-on calculer la quantité de riz pour 4 personnes ?

5. 200 pages d’un livre ont une épaisseur de 2,4 cm. Peut-on calculer l’épaisseur
de 100 pages ?

Petits problèmes pouvant être résolus par une règle de trois​

6. Dans une laiterie, on utilise 18 litres de lait pour fabriquer 3,6 kg de fromage.
a. Quelle est la masse de fromage fabriqué avec 25 litres de lait ?
b. Quel est le nombre de litres de lait nécessaires à la fabrication de 10 kg de fromage ? 


7. Une portion de 200 g de frites contient 30 g de lipides. La masse de lipides est proportionnelle à la masse de frites absorbées.

a. Quelle est la masse de lipides apportés par 160 g de frites ?
b. Quelle est la masse de frites qui contient 45 g de lipides ?

Echelles

8. Sur une carte routière à l’échelle 1/200 000, 2 villes sont distantes de 11 cm. Calculer, en kilomètres, la distance réelle entre les 2 villes.


9. Le côté d’un terrain carré mesure 124 m. Calculer la mesure de ce côté sur un plan cadastral à l’échelle 1/2 000.

CORRIGÉ

Tableau de proportionnalité​

1. 33,88 / 28 = 36,3 / 30 = 50,82 / 42 = 1,21. Le tableau est donc un tableau de proportionnalité.

2. 453353e5-77cc-4c63-9ace-8aaa655c7a62

Proportionnalité ou non ?​​

3. Non. Il n’y a pas proportionnalité entre la taille et l’âge.


4. Oui. Il y a proportionnalité entre le nombre de personnes et la quantité de riz. 50 × 4 = 200. Donc 200 g de riz sont nécessaires.


5. Oui. Il y a proportionnalité entre le nombre de pages et l’épaisseur du livre. 2,4 ÷ 2 = 1,2 cm d’épaisseur pour un livre de 100 pages.

Petits problèmes pouvant être résolus par une règle de trois​​

6. a (3,6x25) / 18 = 5 . On peut fabriquer 5 kg de fromage avec 25 litres de lait.
b. (18x10) / 3,6 = 50. Il faut 50 litres de lait pour fabriquer 10 kg de fromage.

7. a (30x160) / 200 = 24 . 160 g de frites contiennent 24 g de lipides.

b. (200x45) / 30 = 300. 300 g de frites contiennent 45 g de lipides.

Echelles​

8. 11 × 200 000 = 2 200 000 ; 2 200 000 cm = 22 km.
La distance réelle entre les 2 villes est 22 km.


9. 124 m = 12 400 cm ; 12 400 ÷ 2 000 = 6,2. La mesure du côté sur le plan est 6,2 cm.