Partager, c’est diviser une somme d’argent, une distance, une masse... en parts égales ou inégales.
1 - Apprendre le cours
A - Les partages égaux
Partager une grandeur en n parts égales, c’est diviser sa mesure par n.
Exemple
Une somme de 2 100 € est à partager également entre 7 personnes. La part de chacune est : 2 100 ÷ 7 = 300 €.
B - Les partages inégaux
Le partage d’une grandeur en parts inégales peut se faire de différentes façons. Plus particulièrement :
- on applique une fraction à la grandeur (voir fiche 4) ;
- on applique un pourcentage à la grandeur (voir fiche 5) ;
- on connaît la différence entre les parts.
Exemple
Antoine et Louis se partagent 200 hectares de terre. Louis a 46 hectares de plus qu’Antoine.
Un schéma est conseillé pour résumer l’énoncé.
Celle de Louis est : 77 + 46 = 123 hectares. Vérification : 77 + 123 = 200 hectares.
Remarque : ce type de problème peut aussi se résoudre algébriquement (voir fiches 13 et 14).
C - Les partages proportionnels à une grandeur
1) Propriété de la proportionnalité
Étant donné une suite de rapports égaux, on obtient un rapport égal à chacun d’eux en prenant pour numérateur la somme des numérateurs et pour dénominateur la somme des dénominateurs.
Exemple
2) Partage proportionnel
Une prime de fin d’année de 2 193 € est partagée entre trois salariés proportionnellement à leur nombre d’années d’ancienneté dans l’entreprise. Hervé a 14 ans d’ancienneté, Loïc 9 ans et Daniel 20 ans. Calculer la somme reçue par chacun.
On cherche 3 nombres x, y, z tels que les 2 suites de nombres (x, y, z) et (14, 9, 20) soient proportionnelles.
Chaque salarié touche donc 51 € de prime par année d’ancienneté.
D’où x = 14 × 51 = 714 ; y = 9 × 51 = 459 ; z = 20 × 51 = 1 020.
Vérification : 714 + 459 + 1 020 = 2 193.
Donc Hervé reçoit 714 €, Loïc 459 € et Daniel 1 020 €.
D - Les partages inversement proportionnels à une grandeur
1) Inverse d'un nombre non nul
L’inverse d’un nombre n non nul est 1/ n.
Le produit de deux nombres inverses est égal à 1.
Exemples
2) Partage inversement proportionnel
On veut partager 2 100 € en 2 parts x et y inversement proportionnelles à 2 et 5.
Vérification : 1 500 + 600 = 2 100 €.
Méthode : comment effectuer un partage proportionnellement à une grandeur ?
Énoncé : quatre communes A, B, C, D ont créé un syndicat intercommunal pour la gestion d’une école de musique et de danse. Voici la répartition de la population des communes concernées par le syndicat.
Les dépenses de fonctionnement de l’école, d’un montant annuel de 52 440,70 €, ont été réparties entre les communes proportionnellement à leur nombre d’habitants. Calculer la dépense pour chaque commune.
Réponse :
- On calcule le nombre total d’habitants : 2856+386+1508+1456=6206.
- On calcule le coût par habitant (puisqu’il y a proportionnalité, ce coût est le même pour toutes les communes) : 52 440,70 ÷ 6 206 = 8,45 €.
- On calcule le coût par commune en multipliant le nombre d’habitants parle coût par habitant : commune A : 8,45 × 2 856 = 24 133,20 € ; commune B : 8,45 × 386 = 3 261,70 € ; commune C : 8,45 × 1 508 = 12 742,60 € ; commune D : 8,45 × 1 456 = 12 303,20 € ;
Vérification : 24 133,20 + 3 261,70 + 12 742,60 + 12 303,20 = 52 440,70.
2 - Appliquer le cours
EXERCICES
Partages égaux
1. Sur une route reliant 2 villes A et B distantes de 2 km, on dispose une borne tous les hectomètres. La première est placée 30 m après la ville A. Combien y a-t-il de bornes entre A et B ?
2. Le bord d’un massif circulaire est planté de rosiers régulièrement espacés de 45 cm. Calculer le nombre de rosiers sachant que la longueur du tour du massif est 4,95 m.
Partages inégaux
3. Marc et Aline ont 63 ans à eux 2. Marc a 5 ans de plus qu’Aline. Quel est l’âge de chacun d’eux ?
4. Marc et Aline ont 63 ans à eux 2. Marc est 2 fois plus âgé qu’Aline. Quel est l’âge de chacun d’eux ?
Partages proportionnels à une grandeur
5. Un peintre en bâtiment effectue des travaux de peinture chez des particuliers. Il a peint 62 m2 chez M. Aristide, 42 m2 chez M. Barnabé et 85 m2 chez Mme Caroline. Le total des 3 factures est de 2 457 €. Le prix payé est proportionnel à la surface peinte. Retrouver le montant de chacune des trois factures.
6. Xavier gagne 1 250 € par mois. Yann gagne 700 € par mois. Ils sont colocataires d’un appartement dont ils payent les charges mensuelles 81,12 € proportionnellement à leurs salaires. Quelle somme payera Xavier et quelle somme payera Yann pour régler ces charges ?
Partages inversement proportionnels à une grandeur
7. Partager une prime de 2 100 € entre 3 employés en raison inverse de leur nombre de jours d’absence : 12, 14 et 7.
CORRIGÉ
Partages égaux
1. 2 km = 2 000 m ; 1 hm = 100 m.
2 000 – 30 = 1 970 m.
Dans 1 970, il y a 19 fois 100 m, donc il faut mettre 20 bornes puisqu’il y a une borne
à chaque extrémité. La dernière borne est 70 m avant le village B.
2. 4,95 m = 495 cm ; 495 ÷ 45 = 11. On peut planter 11 rosiers.
Partages inégaux
3. 63 – 5 = 58 ; 58 ÷ 2 = 29.
Aline a 29 ans et Marc a 34 ans.
4. Si l’âge de Marc est le double de celui d’Aline, le total de leurs âges est égal à 3 fois l’âge d’Aline.
63 ÷ 3 = 21.
Aline a 21 ans et Marc a 42 ans.
Partages proportionnels à une grandeur
5. Surface totale peinte : 62 + 42 + 85 = 189 m2.
Prix par m2 peint : 2 457 ÷ 189 = 13 €.
Facture de M. Aristide : 13 × 62 = 806 € ; facture de M. Barnabé : 13 × 42 = 546 € ; facture de Mme Caroline : 13 × 85 = 1 105 €.
6. Soit x la somme payée par Xavier et y celle payée par Yann.
x = 0,0416 × 1 250 = 52 ; y = 0,0416 × 700 = 29,12. Xavier payera 52 € et Yann 29,12 €.
Partages inversement proportionnels à une grandeur
Soit x, y, z les 3 parts demandées.
