La division

La division concerne particulièrement le cycle 3 où les élèves apprennent à poser une division euclidienne.

I. Les programmes

Au CP, la division est étudiée à travers des problèmes très simples. Au CE1, l’étude du sens de la division est préparée par la résolution de deux types de problèmes : problèmes de groupement et problèmes de partage. Au CE2, les élèves consolident l’étude du sens de la division par la résolution de ces problèmes. Au CM1, ils apprennent à poser une division euclidienne de deux nombres entiers. Au CM2, ils poursuivent cet apprentissage et le quotient peut être décimal ou non ($10\div4$ ou $10\div3$). Ils apprennent également à poser la division d’un nombre décimal par un nombre entier.

II. Les deux types de problèmes de division

La division-quotition (groupement) et la division-partition (partage) utilisent toutes les deux la division mais elles permettent de rechercher deux données différentes : le nombre de parts (groupement) ou la valeur d’une part (partage). Pour étudier l’équivalence entre ces deux types de divisions, il faut utiliser des situations qui permettent de ramener un problème à l’autre.

III. La progression de l’enseignement de la division euclidienne

Comme pour les autres opérations, l’entrée dans la division s’initie par des problèmes. Pour aller vers la technique opératoire, on peut partir d’un problème (« Il faut partager un tas de pièces d’or entre des pirates ») mettant d’abord en jeu des petits nombres puis des plus grandes valeurs. L’apprentissage de la division euclidienne se fait ensuite selon une progression :

– division d’un nombre entier par un nombre entier à un chiffre ;

– division d’un nombre entier par un nombre entier à plus d’un chiffre ;

– division de deux nombres entiers avec un quotient pouvant être décimal ;

– division décimale d’un nombre décimal par un nombre entier.

IV. La division euclidienne

A. Les connaissances et compétences sous-jacentes à la technique de la division euclidienne

Il existe plusieurs connaissances et compétences préalables à l’apprentissage de la technique de la division euclidienne :

– le repérage de la valeur des chiffres en fonction de leur position dans l’écriture d’un nombre ;

– les tables de multiplication pour donner rapidement des produits ou des quotients ;

– le calcul approché pour répondre à des questions du type « Combien de fois 54 dans 368 ? » ;

– le calcul de produits et de différences ;

– savoir estimer l’ordre de grandeur du quotient ;

– comprendre que : $\text{a}=\text{bq+r}(42=5\times8+2)$ ;

– maîtriser la soustraction et la multiplication.

B. La technique opératoire de la division euclidienne : explications

image 1

Je prends chaque chiffre du nombre 654, en commençant par la gauche :
– combien de fois puis-je mettre 3 dans 6 ? Je peux mettre 2 fois 3 dans 6 ($2\times3=6$). J’écris alors 2 dans le quotient et j’écris la soustraction « $6−6=0$ ». J’abaisse le 5 de 654 à côté du 0 ;

– combien de fois puis-je mettre 3 dans 5 ? Je peux mettre 1 fois 3 dans 5 ($1\times3=3$). J’écris alors 1 dans le quotient et j’écris la soustraction «$5−3=2$». Il reste 2. J’abaisse le 4 de « 654 » à côté du 2 ;

– combien de fois puis-je mettre 3 dans 24 ? Je peux mettre 8 fois 3 dans 24 ($8\times3=24$). J’écris alors 8 dans le quotient et j’écris la soustraction « $24−24=0$ ». Le reste vaut 0.

Donc, 654 divisé par 3 est égal à 218. Dans 654, je peux mettre 3 fois 218 ou mettre 218 fois 3.

C. Pourquoi la division euclidienne est difficile pour les élèves ?

La division euclidienne est difficile pour les élèves, notamment car :

– la division posée est la seule opération pour laquelle les calculs s’effectuent en considérant le dividende de gauche à droite ;

– elle exige d’effectuer simultanément une division, des multiplications et des soustractions ;

– les chiffres écrits successivement pour constituer le quotient sont le résultat d’une approximation provisoire. La division est la seule opération dans laquelle un nombre « calculé » peut ne pas être définitif ;

– elle a deux résultats : le quotient et le reste.

Pour alléger la charge de travail des élèves et les aider, il est conseillé de leur laisser poser les soustractions partielles. Si un élève de cycle 3 a beaucoup de difficultés avec la division, il peut utiliser du matériel de numération afin de visualiser le partage.

À SAVOIR

Pour la division, la taille des nombres est une variable didactique non négligeable.