Le champ multiplicatif regroupe la multiplication et la division. Ces opérations sont étudiées à partir de problèmes qui contribuent à leur donner du sens. Gérard Vergnaud, mathématicien et psychologue français, a établi une typologie avec quatre catégories de problèmes du champ multiplicatif.
I. Catégorie 1 : situations de proportion simple, avec présence de l’unité
Ce sont tous les problèmes qui peuvent être représentés par un schéma du type :
L’inconnue est alors placée en b, en c ou en d.
A. Problèmes de multiplication
Exemple : « J'ai collé 5 photos de vacances sur chaque page de l'album qui contient 30 pages. Combien y a-t-il de photos dans l'album ? ».
B. Problèmes de division-partition (recherche de la valeur d’une part)
Division-partition : chercher combien de fois un nombre est contenu dans un autre pour trouver la valeur de chaque part.
Exemple : « J’ai collé 150 photos dans un album de 30 pages. Il y a le même nombre de photos sur chaque page. Combien y a-t-il de photos sur chaque page ? ».
C. Problèmes de division-quotition (recherche du nombre de parts)
Division-quotition : partager un nombre par un autre pour trouver le nombre de parts.
Exemple : « J’ai collé 150 photos dans un album. Il y a 5 photos sur chaque page. Combien de pages ont été remplies ? ».
II. Catégorie 2 : situations de proportion simple, sans présence de l’unité
« Sans présence de l’unité » signifie qu’aucune quantité ne vaut 1. Ces problèmes relèvent de la proportionnalité.
L’inconnue est placée en a, en b, en c ou en d.
Exemple : « Quatre livres coûtent en tout 45 €. Combien coûtent 3 livres ? ».
III. Catégorie 3 : situations de comparaison faisant intervenir des expressions du type « fois plus », « fois moins »
Ce sont tous les problèmes qui peuvent être représentés par un schéma du type :
L’inconnue est alors placée en a, en b ou en c.
Exemple : « Christophe a 28 ans. Son père est 2 fois plus âgé. Quel âge a-t-il ? »
IV. Catégorie 4 : situations de produit de mesures
A. Problèmes de multiplication
Exemple : « Avec 2 sortes d’entrées (salade, charcuterie) et 3 plats (fondue, raclette, tartiflette), combien peut-on réaliser de menus différents ? », schématisé par un tableau à double-entrée ou par un arbre.
B. Problèmes de division
Ils se modélisent par l’équation :
Exemple : « Clément a 5 pantalons différents. Combien doit-il acheter de chemises pour avoir 20 façons de s’habiller ? ».
À SAVOIR
Il est essentiel de varier les différents types de problèmes proposés aux élèves. La typologie de Vergnaud aide le professeur à les classifier et à les enseigner de manière équitable.