Fonction linéaire

Une situation de proportionnalité peut être modélisée par une fonction linéaire.

I) Leçon

1) Définition

Une fonction linéaire est une fonction du type :

$f : \text{R} \longrightarrow \text{R}$

$x \longmapsto \frac{3}{2}x$

2) Lien avec la proportionnalité

On passe d’une valeur de $x$ à son image donnée par $f(x)$ en la multipliant par le nombre $a$. Il y a donc proportionnalité entre la suite des valeurs de $x$ et la suite de leurs images, $a$ étant le coefficient de proportionnalité.

Exemple :

Les suites ($-6$ ; $-3$ ; $0$ ; $1$ ; $2$) et ($-9$ ; $\frac{-9}{2}$ ; $0$ ; $\frac{3}{2}$ ; $3$) sont proportionnelles ; le coefficient qui permet de passer de la 1^re à la 2^de est $\frac{3}{2}$.

3) Représentation graphique

Dans un système d’axes perpendiculaires gradués régulièrement à partir de 0, les couples de nombres correspondants sont représentés par des points alignés sur une droite passant par l’origine (point (0 ; 0)).

La courbe représentative d’une fonction linéaire est donc une droite d’équation $y = ax$ qui passe par l’origine du repère.

Exemple : Représentation graphique de la fonction

Le nombre $a$ est appelé coefficient directeur de la droite. Il caractérise la « pente » de la droite qui représente la fonction, c’est-à-dire son inclinaison par rapport à l’axe des abscisses.

Ce coefficient directeur $a$ est égal à la variation de l’ordonnée lorsque l’abscisse augmente de 1.

En effet, $f(x + 1) - f(x) =a(x + 1) - ax = a$.

Exemple : Lorsqu’on passe du point A (2 ; 3) au point B (3; 4,5) ou du point O (0 ; 0) au point C (1 ; 1,5), l'abscisse augmente de 1 et l'ordonnée de $\frac{3}{2}$ ou (1,5) :

a est aussi l’image du nombre 1. En effet, $f (1) = a$ (cf. le point C sur le graphique exemple).

Si a > 0, la fonction linéaire est croissante.

Si a < 0, la fonction linéaire est décroissante.

II) Ce qu'il faut savoir faire

➢ Représenter graphiquement une fonction linéaire

La représentation graphique est une droite qui passe par l’origine du repère (point de coordonnées (0 ; 0)). Il suffit donc de placer un autre point de cette droite de coordonnées ($p$ ; $f(p)$). Voir le III) Je m'entraîne, exercice 2.

➢ Déterminer l’expression algébrique d’une fonction linéaire

Exemple : déterminer l’expression algébrique de la fonction associée à cette droite.

Remarque : on peut aussi répondre à cette question en remarquant que lorsque $x$ varie 1, $y$ varie de -$\frac{1}{2}$ (donc $a = -\frac{1}{2}$).

III) Je m'entraîne

1. Parmi ces fonctions, lesquelles sont des fonctions linéaires ?

$f : \text{R} \longrightarrow \text{R}$
$x \longmapsto \frac{1}{x}$

$g : \text{R} \longrightarrow \text{R}$
$x \longmapsto \frac{x}{3}$

$h : \text{R} \longrightarrow \text{R}$
$x \longmapsto \pi x$

$i : \text{R} \longrightarrow \text{R}$
$x \longmapsto x^2$

2. Pour celles qui sont des fonctions linéaires, tracer leur représentation graphique.

3. a. Tracer la représentation graphique de la fonction linéaire $f$ telle que $f(2) = 5$.
b. Donner son expression algébrique.