Événements incompatibles, éléments contraires

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Différentes méthodes permettent de calculer la probabilité d’événements.

I) Leçon

1) Probabilité d’événements incompatibles

Deux événements sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se produire simultanément.

Exemple : Les événements « Obtenir le 2 » et « Obtenir le 3 » quand on lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6 sont des événements incompatibles. En revanche, les événements « Obtenir un multiple de 3 » et « Obtenir un multiple de 2 » ne sont pas des événements incompatibles. Ils peuvent en effet se produire en même temps si on tire le 6.

Événement « A ou B » : si A et B sont deux événements, l’événement « A ou B » est l’événement qui se réalise uniquement si A se réalise ou si B se réalise. On dit que c’est la réunion de A et B.

Exemple : Dans l’expérience « On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées 1 à 6 », soit A l’événement « Tirer un nombre pair » et B « Tirer un multiple de 3 ». L’événement « A ou B » est l’événement « Tirer un nombre pair ou un multiple de 3 », c’est-à-dire « Tirer le 2, le 3, le 4, le 6 ».

Propriété : si A et B sont incompatibles alors p(A ou B) = p(A) + p(B). Cette propriété permet de calculer la probabilité de certains événements.

Exemple : Dans une classe de CM2 de 27 élèves, 5 élèves ont 11 ans, 3 ont 9 ans et le reste a 10 ans. On tire un élève au hasard et on s’intéresse à son âge. Soit A l’événement « L’élève a 10 ans » et B « L’élève a 9 ans ». Quelle est la probabilité que l’élève ait 9 ans ou 10 ans ?
Les événements A et B sont incompatibles. En effet, un élève ne peut pas avoir en même temps 9 ans et 10 ans.

Donc p(« L'élève a 9 ans ou 10 ans ») = P (A ou B) = p(A) + P(B) = 327+1927=2227\frac{3}{27} + \frac{19}{27} = \frac{22}{27}.

Propriété : pour toute expérience aléatoire, la somme des probabilités de l’ensemble des résultats est égale à 1.

Justification : l’événement « Obtenir l’un des résultats d’une expérience aléatoire » est un événement certain, donc sa probabilité est égale à 1. De plus, les résultats sont des événements 2 à 2 incompatibles. Cette propriété permet de calculer la probabilité de certains événements.

Exemple : Dans un sac, il y a des boules rouges, des boules noires et des boules vertes. On sait que la probabilité de tirer une boule rouge est égale à 23\frac{2}{3}, celle de tirer une boule noire est égale à 112\frac{1}{12}. Quelle est la probabilité de tirer une boule verte ?

Si on considère la couleur de la boule tirée, il y a trois résultats possibles : la boule est rouge, la boule est noire, la boule est verte. D’après la propriété ci-dessus, la somme des probabilités de chacun de ces résultats est égale à 1.

Donc p(Tirer une boule verte) = 1 − [p(Tirer une boule rouge) + p(Tirer une boule noire)]

Donc p(Tirer une boule verte) =1= 1 - (23+112\frac{2}{3} + \frac{1}{12})=1912=312=14= 1 - \frac{9}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}.

2) Probabilité d’événements contraires

Événement contraire : un événement est le contraire d’un événement A s’il se réalise uniquement quand A ne se réalise pas. On le note A\overline{A}.

Propriété : p(A)=1p(A)p(\overline{A}) = 1 − p(A).

Justification : l’événement « AA ou A\overline{A} » est l’événement certain donc P(AouA)=1P(A ou \overline{A} ) = 1. De plus, les événements AA et A\overline{A} sont incompatibles donc p(AouA)=p(A)+p(A)p(A ou \overline{A}) = p(A) + p(\overline{A}) donc p(A)+p(A)=1p(A) + p(\overline{A}) = 1. Cette propriété permet de calculer les probabilités de certains événements.

Exemple : On lance un dé pipé à 6 faces numérotées 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 3 et 4. Quelle est la probabilité de l’événement A « Obtenir un nombre supérieur à 1 » ?

L'événement contraire de cet événement est A\overline{A} : « Obtenir 1 ».

p(A)=26p(\overline{A}) = \frac{2}{6} donc p(A)=126=46=23p(A) = 1 - \frac{2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.

II) Ce qu'il faut savoir faire

➢ Calculer la probabilité d’un événement en utilisant la propriété des événements incompatibles et contraires

➢ Calculer la probabilité d’un événement dans le cas d’une expérience à double épreuve

Exemple : un sac contient cinq boules ; deux boules sont numérotées 1, deux sont numérotées 2 et une est numérotée 3. On tire une 1re boule au hasard, on note son numéro et on la remet dans le sac. On tire une 2e boule au hasard et on note son numéro. On additionne les deux numéros obtenus. Quelle est la probabilité d’obtenir un résultat inférieur ou égal à 4 ?

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III) Je m'entraîne

1. On lance deux dés dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On note le plus grand numéro obtenu ou le numéro obtenu en cas d’égalité. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair ?

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2. On lance simultanément deux dés numérotés de 1 à 6 et on additionne les nombres obtenus. Quelle est la probabilité d’obtenir une somme strictement supérieure à 2 ?