Symétrie axiale, symétrie centrale

On appelle transformation du plan toute application qui à un point du plan en associe un autre. Cinq transformations particulières sont présentées dans cette fiche et les suivantes : la symétrie axiale, la symétrie centrale, la translation, la rotation et l’homothétie. Seule l’homothétie modifie les dimensions des figures. Les autres transformations sont appelées isométries.

I) Leçon

1. Symétrie axiale

$\rightarrow$ Le symétrique d’un point M par rapport à une droite (d) est :

• le point M′ tel que (d) est la médiatrice de [MM′], si M n’est pas sur (d) ;
• le point M lui-même, si M est sur (d).

On dit que M′ est l’image de M par la symétrie par rapport à la droite (d) (ou la symétrie axiale d’axe (d)).
M est aussi le symétrique de M′ par rapport à la droite (d).
On dit que M et M′ sont symétriques par rapport à la droite (d).

Le symétrique d’une figure (F) par rapport à une droite (d) est l’ensemble (F′) de toutes les images des points de (F) par cette symétrie.

Remarque
Matériellement, si l’on plie la feuille sur laquelle sont tracées les figures (F) et (F′) suivant la droite (d), alors ces deux figures se superposent.

$\rightarrow$ Propriétés :

• Par une symétrie axiale, l’image d’une droite est une droite. Donc les images de points alignés sont des points alignés. On dit que la symétrie axiale conserve l’alignement.

  Remarque
  Si une droite coupe l’axe de symétrie, alors son symétrique coupe l’axe en ce point.

• Par une symétrie axiale, l’image d’un segment est un segment de même longueur. On dit que la symétrie conserve les longueurs.
• Par une symétrie axiale, l’image d’un angle est un angle égal. On dit que la symétrie axiale conserve les angles.

$\rightarrow$ Conséquences :

• Les images de deux droites perpendiculaires sont deux droites perpendiculaires.
• Les images de deux droites parallèles sont deux droites parallèles. On dit que la symétrie axiale conserve le parallélisme et la perpendicularité.
• L’image d’un cercle est un cercle de même rayon dont le centre est l’image du centre.

2. Symétrie centrale

$\rightarrow$ Le symétrique d’un point M par rapport à un point C est :

• le point M′ tel que C est le milieu de [MM′], si M est différent de C ;
• le point M lui-même, si M est sur C.

On dit que M′ est l’image de M par la symétrie centrale de centre C.
M est aussi le symétrique de M′ par rapport au point C.
On dit que M et M′ sont symétriques par rapport au point C.

$\rightarrow$ Le symétrique d’une figure (F) par rapport à un point C est l’ensemble (F′) de toutes les images des points de (F) par cette symétrie.

Remarque
Matériellement, si l’on fait tourner la figure (F) de 180° autour du point C, alors elle va se superposer avec (F′).

$\rightarrow$ Propriétés :

• Par une symétrie axiale, l’image d’une droite est une droite qui lui est parallèle.
  Donc les images de points alignés sont des points alignés (conservation de l’alignement).
• La symétrie axiale conserve les longueurs et les angles.

$\rightarrow$ Conséquences :

• Les images de deux droites perpendiculaires sont deux droites perpendiculaires.
• Les images de deux droites parallèles sont deux droites parallèles (conservation du parallélisme).
• L’image d’un cercle est un cercle de même rayon dont le centre est l’image du centre.

II) Ce qu'il faut savoir faire

$\Rightarrow$ Tracer l’image d’un point, d’une figure par une symétrie axiale
Méthode 1 : en utilisant l’équerre et la règle graduée (ou le compas). On s’appuie sur la définition.

Méthode 2 : en utilisant uniquement le compas.
Exemple : tracer le symétrique de M par rapport à la droite (d).

Justification : (d) est la médiatrice de [MM′] car les deux points placés sur (d) en début de construction sont équidistants de M et M′.

$\Rightarrow$ Tracer l’image d’un point, d’une figure par une symétrie centrale

III) Je m'entraîne

Tracer un triangle ABC tel que AB = 5 cm, BC = 3 cm et AC = 2,5 cm. Tracer le demi- cercle de diamètre [AC] qui ne coupe pas [BC]. Tracer la droite (d) qui passe par les milieux des côtés [AB] et [BC]. Tracer en rouge le symétrique de la figure par rapport à (d). Tracer en bleu le symétrique de la figure par rapport au milieu I de [AC].
Instruments autorisés : règle graduée, équerre, compas.