Simplifier des expressions littérales

Le calcul littéral, ou calcul avec une ou plusieurs lettres, joue un rôle essentiel pour prouver des propriétés avec des nombres, résoudre des problèmes dans lequel on cherche un ou plusieurs nombres, établir des formules.

I) Leçon

1. Expressions littérales égales

$\rightarrow$ Deux expressions littérales sont égales si elles donnent le même résultat quelle que soit la valeur numérique attribuée à chacune des lettres qui y figurent.
$\rightarrow$ Suivant les situations d’utilisation, la lettre s’appelle variable (dans le cas d’une formule ou de la démonstration de propriété) ou inconnue (dans le cas d’une équation).

Information pratique
S’il n’y a pas de signe entre un nombre et une lettre ou entre deux lettres, le signe « $\times$ » est sous-entendu. Exemple : $8x=8\times x$. Quand on calcule la valeur d’une expression littérale pour la valeur d’une variable, il faut remettre les signes $\times$.

Exemple 1 : Soit $A=x^2-8x$ et $B=-x-12$
Pour $x=3: A=3^2-8\times3=-15$ et $B=-3-12= -15$
Pour $x=4: A=4^2-8\times4=-16$ et $B=-4-12= -16$
Pour $x=1: A=1^2-8\times1=-7$ et $B=-1-12= -13$
Or − 7 ≠ − 13 : donc on peut affirmer que les expressions A et B ne sont pas égales.

Exemple 2 : Soit $C=x(x+1)$ et $D=x^2+x$
Si on calcule la valeur de ces deux expressions, pour différentes valeurs de la variable x, on constate qu’on trouve les mêmes résultats. Mais cela ne prouve pas que C = D : il y a peut-être une exception. Seul le recours à des propriétés permet de démontrer que deux expressions sont égales. Deux de ces propriétés sont présentées ci-dessous.

2. Somme ou produit

Une expression littérale est un produit (respectivement une somme) si la dernière opération qu’on effectue afin de calculer la valeur de cette expression pour une valeur de la variable est un produit (respectivement une somme).

Information pratique
Une différence est considérée comme une somme : somme d’un nombre et de l’opposé d’un autre nombre.

Exemple : $3\times(x+1)$ et $(2x+1)^2$ sont des produits $(2x+1)^2=(2x+1)\times(2x+1)$.
$3+5\times x$ et $(x-1)-(2x+3)$ sont des sommes.

3. Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition (soustraction)

$\rightarrow$ Distributivité simple : quels que soient les nombres réels a, b et c, on a :

Exemple : $3(x-7)=3x-3\times7=3x-21$ donc, quelles que soient les valeurs données à $x$, on obtiendra le même résultat pour $3x-21$ et $3(x-7)$.
$4x+7x=(4+7)x$ : on a appliqué la formule de la 2^e ligne donc $4x+7x=11x$.
Attention ! $A=5+4x$ ne se simplifie pas. En particulier, ce n’est pas égal à $9x$.
En effet, pour $x=0:A=5+4\times0=5$ et $9x=9\times0=0$.

$\rightarrow$ Cas particuliers : $-(a+b)=-a-b$ et $-(a-b)=-a+b$
Justification :
$-(a+b)=(-1)\times (a+b)$
$= (-1)\times a+(-1)\times b$
$= -a-b$

4. Simplifier (réduire) une expression littérale

Simplifier (réduire) une expression littérale consiste à trouver une expression qui lui est égale et qui contient le moins de termes ou de facteurs possibles.
Exemple :
$4x+5+7x+3=(4x+7x)+(5+3)$
$=11x+8.$

L'expression $11x+8$ est l’expression simplifiée de $4x+5+7x+3$.

II) Ce qu'il faut savoir faire

$\rightarrow$ Calculer la valeur d’une expression littérale pour la valeur d’une variable
cf.1.

$\rightarrow$ Simplifier des produits
Exemple : simplifier, si possible : A = $3a\times4$ ; B = $7b\times8b$ ; C = $3a^2 \times6a$

$\rightarrow$ Simplifier des sommes
Exemple : simplifier, si possible : A = $3a+7a$ ; B = $17+3x$ ; C = $2x^2-5x^2$ ; D = $4x^2+2x$ ; E = $4x^2+11x-8+8x^2-3x+7$

Remarque
Quand on déplace un nombre ou une expression littérale, il faut également déplacer le signe qui est devant ce nombre ou cette expression.

III) Je m'entraîne

1. Calculer : A = $5x^2-3x+17$ pour $x=3$ ; $x=-2$ ; $x=2/3$.

2. Simplifier, si possible, ces sommes et produits : A = $7b+3b$ ; B = $7b\times3b$ ; C = $6\times3a$ ; D = $6+3a$ ; E = $3c\times4c^2$ ; F = $3c+4c^2$ ; G = $7x^2-3x+11-6x+5x^2-3$ ; H = $5a-3a\times2a+7\times4a-6+7a^2-3-15a$