Développer des expressions littérales

Le développement d’expressions littérales joue un rôle essentiel pour l’usage du calcul littéral.

I) Leçon

1. Développer une expression littérale

$\rightarrow$ Développer une expression littérale consiste à transformer un produit en une somme (ou différence).
$\rightarrow$ Pour cela, on peut utiliser la propriété de distributivité simple, la double distributivité,les identités remarquables.

Exemple :
$3\times(2x-5)$
$=3x\times2x-3x\times5$
$=6x^2-15x$
$3\times(2x-5)$ est un produit ; $6x^2-15x$ est une différence donc une somme. On a donc développé $3\times(2x-5)$.

2. La double distributivité

C’est une conséquence de la distributivité simple.
Quels que soient les nombres réels a, b et c, on a :

Exemple : Développer A = $(2+3x)(5x+1)$ et B = $(3x-1)(2x-7)$
A = $2\times(5x+1)+3x(5x+1)$
A = $2\times5x+2\times1+3x\times5x+3x\times1$
A = $10x+2+15x^2+3x$
A = $13x+2+15x^2$
Il est conseillé d’effectuer directement les produits, donc de passer directement de la 2^e expression à la 4^e. Avec de l’entrainement, on peut passer directement de la 1^re ligne à la 4^e ligne.
B = $(3x-1)(2x-7)$
$=3x(2x-7)-1(2x-7)$
$=6x^2-21x-2x+7$
$=6x^2-23x+7$
Attention de bien prendre en compte le signe placé devant chacun des facteurs pour effectuer les produits.

3. Les identités remarquables

$\rightarrow$ Certaines expressions à développer sont souvent utilisées. Il est donc intéressant de connaitre leur forme développée. C’est le cas des identités remarquables. Quels que soient les nombres réels a, b et c, on a :

• $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ;​
• ​$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ ;
• $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.​

$\rightarrow$ Justification : pour les deux premières égalités, il suffit de remplacer $(a+b)^2$ par $(a+b)(a+b)$ et $(a-b)^2$ par $(a-b)(a-b)$ puis d’appliquer la double distributivité. Pour la 3^e égalité, il faut simplement appliquer la double distributivité.

Exemple : Développer et simplifier $(3x+2)^2$.
En posant $a=3x$ et $b=2$, on retrouve l’identité $(a+b)^2$, on obtient donc :
$(3x+2)^2$
$=(3x)^2+2\times3x\times2+2^2$
$=9x^2+12x+4$.

II) Ce qu'il faut savoir faire

$\Rightarrow$ Développer et simplifier des expressions littérales
Exemple : développer et simplifier A = $5(3x^2-7x)-(5x+6)(3-4x)+(2x-3)^2$.

III) Je m'entraîne

1. Développer et simplifier :
I = $5x+3(2x-7)$ ; J = $(3a-5)-(2a-3)$ ; K = $2a(3a-7)-(3a^2-2a+5)$ ; L = $(2b-6)-3(5-2b)$

2. Développer et simplifier les expressions suivantes :
A = $(2x-5)(6+2x)$ ; B = $(5-3x)(-6-7x)$ ; C = $(7x+1)(7x-2)$ ; D = $(3x-5)-(2-5x)(x+3)$

3. Développer et simplifier :
A = $(4x-1)^2$ ; B = $(3a-2)(3a+2)$ ; C = $(1+3b)^2$ ; D = $(3x+5)^2-(7-2x)^2$ ; E = $(3x-1)(3x+1)-(5x+3)^2$