Réciproque des théorèmes de Pythagore et de Thalès

Les réciproques des théorèmes de Pythagore et de Thalès permettent respectivement de démontrer qu’un triangle est rectangle (ou que deux droites sont perpendiculaires) et que deux droites sont parallèles.

I) La leçon

1) La réciproque du théorème de Pythagore

Si, dans un triangle, le carré de la longueur d’un côté (le plus grand côté) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

Si, dans un triangle ABC, $\text{AB}^2 + \text{AC}^2 = \text{BC}^2$, alors ABC est un triangle rectangle en A.

La réciproque du théorème de Pythagore permet de démontrer qu’un triangle est rectangle (ou que deux droites sont perpendiculaires).

Conditions d’utilisation : disposer d’un triangle dont on connait la longueur des trois côtés.

2) La réciproque du théorème de Thalès

Si (d) et (d′) sont deux droites sécantes en A,

si B et C sont deux points de (d) et E et D deux points de (d′),

si $\frac{\text{AB}}{\text{AC}}=\frac{\text{AE}}{\text{AD}}$,

et enfin si les points A, B, C et A, E, D sont alignés dans le même ordre, alors les droites (BE) et (CD) sont parallèles.

La réciproque du théorème de Thalès permet de démontrer que deux droites sont parallèles.

II) Ce qu'il faut savoir faire

Démontrer qu’un triangle est rectangle en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore

Exemple : le triangle ci-contre est-il rectangle ?
Les mesures sont exprimées dans la même unité.
On s’assure qu’on a bien les conditions d’utilisation de la réciproque du théorème de Pythagore. C’est le cas ici, car on connait la longueur des trois côtés du triangle.

Attention : dans l’étape 3 (lorsqu’on compare le carré du plus grand côté avec la somme des carrés des deux autres), il faut travailler avec des valeurs exactes
et non des valeurs approchées.

Démontrer que deux droites sont parallèles en utilisant la réciproque du théorème de Thalès

Exemple : les droites (RS) et (QT) sont-elles parallèles ? Les mesures sont exprimées dans la même unité.

Étapes :

1. On calcule les rapports susceptibles d’être égaux.

PR = 1 + 2 = 3
PQ/PR = 1/3
PS = 1,2 + 2,4 = 3,6
PT/PS = 1 ,2/3,6 = 12/36 =1/3

2. On compare ces rapports et, s’ils sont égaux, on conclut que les droites sont parallèles après s’être assuré que les points sont alignés dans le même ordre ; sinon, elles ne sont pas parallèles.

PQ/PR = PT/PS. De plus, les points P, Q et R et P, T et S sont alignés dans le même ordre, donc (RS) et (QT) sont parallèles.

III) Je m'entraine

Dans les exercices ci-dessous, les mesures sont exprimées dans la même unité.
1. Dans chaque cas, préciser si le triangle EFG est rectangle. Si c’est le cas, préciser l’angle droit.
a. EF = 12, FG = 13 et EG = 5 ; b. EF = 4, FG = $\sqrt{11}$ et EG= $\sqrt{5}$ ; c. EF = 6,3, FG = 6,5 et EG = 1,7

2. Dans chaque cas, préciser si les droites (EF) et (GH) sont parallèles.